Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18045 / 18827
↖ ↑ ↗
← S 25.908644°
E 18.248291°		 ← 1 098.85 m → S 25.908644°
E 18.259277°		 →
↑
1 098.81 m
↓
↑
1 098.81 m
↓
S 25.918526°
E 18.248291°		 ← 1 098.76 m →
1 207 378 m²		 S 25.918526°
E 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550704956054688 y=0.574569702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550704956054688 × 215)
    floor (0.550704956054688 × 32768)
    floor (18045.5)     		tx = 18045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574569702148438 × 215)
    floor (0.574569702148438 × 32768)
    floor (18827.5)     		ty = 18827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18045 / 18827 ti = "15/18045/18827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18045/18827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18045 ÷ 215
    18045 ÷ 32768     		x = 0.550689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18827 ÷ 215
    18827 ÷ 32768     		y = 0.574554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550689697265625 × 2 - 1) × π
    0.10137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31849276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.14910888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.468439383087189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31849276} λ = 0.31849276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468439383087189))-π/2
    2×atan(0.625978418893585)-π/2
    2×0.559302588096954-π/2
    1.11860517619391-1.57079632675     		φ = -0.45219115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31849276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.248291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45219115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.908644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18045 KachelY 18827 0.31849276 -0.45219115 18.248291 -25.908644
    Oben rechts KachelX + 1 18046 KachelY 18827 0.31868451 -0.45219115 18.259277 -25.908644
    Unten links KachelX 18045 KachelY + 1 18828 0.31849276 -0.45236362 18.248291 -25.918526
    Unten rechts KachelX + 1 18046 KachelY + 1 18828 0.31868451 -0.45236362 18.259277 -25.918526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45219115--0.45236362) × R
    0.000172470000000036 × 6371000     		dl = 1098.80637000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45219115--0.45236362) × R
    0.000172470000000036 × 6371000     		dr = 1098.80637000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31849276-0.31868451) × cos(-0.45219115) × R
    0.000191749999999991 × 0.899491866800569 × 6371000     		do = 1098.85456953929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31849276-0.31868451) × cos(-0.45236362) × R
    0.000191749999999991 × 0.899416494811696 × 6371000     		du = 1098.76249215933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45219115)-sin(-0.45236362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899491866800569-0.899416494811696)×R²
    abs(0.31868451-0.31849276)×7.53719888730853e-05×R²
    0.000191749999999991×7.53719888730853e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.53719888730853e-05×40589641000000     		ar = 1207377.81610081m²