Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18045 / 18814
↖ ↑ ↗
← S 25.780107°
E 18.248291°		 ← 1 100.05 m → S 25.780107°
E 18.259277°		 →
↑
1 100.02 m
↓
↑
1 100.02 m
↓
S 25.790000°
E 18.248291°		 ← 1 099.96 m →
1 210 022 m²		 S 25.790000°
E 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550704956054688 y=0.574172973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550704956054688 × 215)
    floor (0.550704956054688 × 32768)
    floor (18045.5)     		tx = 18045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574172973632812 × 215)
    floor (0.574172973632812 × 32768)
    floor (18814.5)     		ty = 18814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18045 / 18814 ti = "15/18045/18814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18045/18814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18045 ÷ 215
    18045 ÷ 32768     		x = 0.550689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18814 ÷ 215
    18814 ÷ 32768     		y = 0.57415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550689697265625 × 2 - 1) × π
    0.10137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31849276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.465946664306946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31849276} λ = 0.31849276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465946664306946))-π/2
    2×atan(0.627540753475782)-π/2
    2×0.560424288036797-π/2
    1.12084857607359-1.57079632675     		φ = -0.44994775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31849276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.248291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44994775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.780107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18045 KachelY 18814 0.31849276 -0.44994775 18.248291 -25.780107
    Oben rechts KachelX + 1 18046 KachelY 18814 0.31868451 -0.44994775 18.259277 -25.780107
    Unten links KachelX 18045 KachelY + 1 18815 0.31849276 -0.45012041 18.248291 -25.790000
    Unten rechts KachelX + 1 18046 KachelY + 1 18815 0.31868451 -0.45012041 18.259277 -25.790000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44994775--0.45012041) × R
    0.000172660000000047 × 6371000     		dl = 1100.0168600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44994775--0.45012041) × R
    0.000172660000000047 × 6371000     		dr = 1100.0168600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31849276-0.31868451) × cos(-0.44994775) × R
    0.000191749999999991 × 0.900469828072685 × 6371000     		do = 1100.04928541429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31849276-0.31868451) × cos(-0.45012041) × R
    0.000191749999999991 × 0.900394721625244 × 6371000     		du = 1099.95753243017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44994775)-sin(-0.45012041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900469828072685-0.900394721625244)×R²
    abs(0.31868451-0.31849276)×7.51064474411312e-05×R²
    0.000191749999999991×7.51064474411312e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.51064474411312e-05×40589641000000     		ar = 1210022.29887833m²