Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18044 / 18828
↖ ↑ ↗
← S 25.918526°
E 18.237304°		 ← 1 098.76 m → S 25.918526°
E 18.248291°		 →
↑
1 098.68 m
↓
↑
1 098.68 m
↓
S 25.928407°
E 18.237304°		 ← 1 098.67 m →
1 207 137 m²		 S 25.928407°
E 18.248291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550674438476562 y=0.574600219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550674438476562 × 215)
    floor (0.550674438476562 × 32768)
    floor (18044.5)     		tx = 18044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574600219726562 × 215)
    floor (0.574600219726562 × 32768)
    floor (18828.5)     		ty = 18828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18044 / 18828 ti = "15/18044/18828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18044/18828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18044 ÷ 215
    18044 ÷ 32768     		x = 0.5506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18828 ÷ 215
    18828 ÷ 32768     		y = 0.5745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5506591796875 × 2 - 1) × π
    0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.149169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.468631130685669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31830101} λ = 0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.468631130685669))-π/2
    2×atan(0.625858400542044)-π/2
    2×0.559216354007221-π/2
    1.11843270801444-1.57079632675     		φ = -0.45236362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45236362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.918526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18044 KachelY 18828 0.31830101 -0.45236362 18.237304 -25.918526
    Oben rechts KachelX + 1 18045 KachelY 18828 0.31849276 -0.45236362 18.248291 -25.918526
    Unten links KachelX 18044 KachelY + 1 18829 0.31830101 -0.45253607 18.237304 -25.928407
    Unten rechts KachelX + 1 18045 KachelY + 1 18829 0.31849276 -0.45253607 18.248291 -25.928407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45236362--0.45253607) × R
    0.000172449999999991 × 6371000     		dl = 1098.67894999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45236362--0.45253607) × R
    0.000172449999999991 × 6371000     		dr = 1098.67894999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31830101-0.31849276) × cos(-0.45236362) × R
    0.000191749999999991 × 0.899416494811696 × 6371000     		do = 1098.76249215933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31830101-0.31849276) × cos(-0.45253607) × R
    0.000191749999999991 × 0.899341104813824 × 6371000     		du = 1098.67039277888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45236362)-sin(-0.45253607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899416494811696-0.899341104813824)×R²
    abs(0.31849276-0.31830101)×7.5389997872044e-05×R²
    0.000191749999999991×7.5389997872044e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.5389997872044e-05×40589641000000     		ar = 1207136.63035135m²