Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18043 / 23684
↖ ↑ ↗
← S 62.288365°
E 18.226319°		 ← 568.06 m → S 62.288365°
E 18.237304°		 →
↑
568.04 m
↓
↑
568.04 m
↓
S 62.293474°
E 18.226319°		 ← 567.96 m →
322 652 m²		 S 62.293474°
E 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550643920898438 y=0.722793579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550643920898438 × 215)
    floor (0.550643920898438 × 32768)
    floor (18043.5)     		tx = 18043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722793579101562 × 215)
    floor (0.722793579101562 × 32768)
    floor (23684.5)     		ty = 23684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18043 / 23684 ti = "15/18043/23684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18043/23684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18043 ÷ 215
    18043 ÷ 32768     		x = 0.550628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23684 ÷ 215
    23684 ÷ 32768     		y = 0.7227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550628662109375 × 2 - 1) × π
    0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39975746890564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31810927} λ = 0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39975746890564))-π/2
    2×atan(0.246656778626304)-π/2
    2×0.241829635082372-π/2
    0.483659270164745-1.57079632675     		φ = -1.08713706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08713706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.288365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18043 KachelY 23684 0.31810927 -1.08713706 18.226319 -62.288365
    Oben rechts KachelX + 1 18044 KachelY 23684 0.31830101 -1.08713706 18.237304 -62.288365
    Unten links KachelX 18043 KachelY + 1 23685 0.31810927 -1.08722622 18.226319 -62.293474
    Unten rechts KachelX + 1 18044 KachelY + 1 23685 0.31830101 -1.08722622 18.237304 -62.293474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08713706--1.08722622) × R
    8.91599999999215e-05 × 6371000     		dl = 568.0383599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08713706--1.08722622) × R
    8.91599999999215e-05 × 6371000     		dr = 568.0383599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31810927-0.31830101) × cos(-1.08713706) × R
    0.000191739999999996 × 0.465021827704057 × 6371000     		do = 568.059290289358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31810927-0.31830101) × cos(-1.08722622) × R
    0.000191739999999996 × 0.464942892577822 × 6371000     		du = 567.962865069902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08713706)-sin(-1.08722622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465021827704057-0.464942892577822)×R²
    abs(0.31830101-0.31810927)×7.89351262354132e-05×R²
    0.000191739999999996×7.89351262354132e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.89351262354132e-05×40589641000000     		ar = 322652.08124062m²