Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18043 / 18804
↖ ↑ ↗
← S 25.681137°
E 18.226319°		 ← 1 100.91 m → S 25.681137°
E 18.237304°		 →
↑
1 100.91 m
↓
↑
1 100.91 m
↓
S 25.691038°
E 18.226319°		 ← 1 100.82 m →
1 211 949 m²		 S 25.691038°
E 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550643920898438 y=0.573867797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550643920898438 × 215)
    floor (0.550643920898438 × 32768)
    floor (18043.5)     		tx = 18043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573867797851562 × 215)
    floor (0.573867797851562 × 32768)
    floor (18804.5)     		ty = 18804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18043 / 18804 ti = "15/18043/18804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18043/18804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18043 ÷ 215
    18043 ÷ 32768     		x = 0.550628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18804 ÷ 215
    18804 ÷ 32768     		y = 0.5738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550628662109375 × 2 - 1) × π
    0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.464029188322144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31810927} λ = 0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464029188322144))-π/2
    2×atan(0.628745202181756)-π/2
    2×0.561287962321148-π/2
    1.1225759246423-1.57079632675     		φ = -0.44822040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44822040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.681137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18043 KachelY 18804 0.31810927 -0.44822040 18.226319 -25.681137
    Oben rechts KachelX + 1 18044 KachelY 18804 0.31830101 -0.44822040 18.237304 -25.681137
    Unten links KachelX 18043 KachelY + 1 18805 0.31810927 -0.44839320 18.226319 -25.691038
    Unten rechts KachelX + 1 18044 KachelY + 1 18805 0.31830101 -0.44839320 18.237304 -25.691038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44822040--0.44839320) × R
    0.000172799999999973 × 6371000     		dl = 1100.90879999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44822040--0.44839320) × R
    0.000172799999999973 × 6371000     		dr = 1100.90879999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31810927-0.31830101) × cos(-0.44822040) × R
    0.000191739999999996 × 0.90121974076173 × 6371000     		do = 1100.90799147965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31810927-0.31830101) × cos(-0.44839320) × R
    0.000191739999999996 × 0.901144842282425 × 6371000     		du = 1100.81649732934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44822040)-sin(-0.44839320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90121974076173-0.901144842282425)×R²
    abs(0.31830101-0.31810927)×7.48984793056406e-05×R²
    0.000191739999999996×7.48984793056406e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.48984793056406e-05×40589641000000     		ar = 1211948.93546817m²