Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18042 / 19672
↖ ↑ ↗
← S 33.943360°
E 18.215332°		 ← 1 013.46 m → S 33.943360°
E 18.226319°		 →
↑
1 013.37 m
↓
↑
1 013.37 m
↓
S 33.952473°
E 18.215332°		 ← 1 013.35 m →
1 026 956 m²		 S 33.952473°
E 18.226319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550613403320312 y=0.600357055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550613403320312 × 215)
    floor (0.550613403320312 × 32768)
    floor (18042.5)     		tx = 18042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600357055664062 × 215)
    floor (0.600357055664062 × 32768)
    floor (19672.5)     		ty = 19672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18042 / 19672 ti = "15/18042/19672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18042/19672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18042 ÷ 215
    18042 ÷ 32768     		x = 0.55059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19672 ÷ 215
    19672 ÷ 32768     		y = 0.600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55059814453125 × 2 - 1) × π
    0.1011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31791752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.20068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.630466103802979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31791752} λ = 0.31791752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630466103802979))-π/2
    2×atan(0.532343615787543)-π/2
    2×0.48918646827624-π/2
    0.978372936552479-1.57079632675     		φ = -0.59242339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31791752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.215332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59242339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.943360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18042 KachelY 19672 0.31791752 -0.59242339 18.215332 -33.943360
    Oben rechts KachelX + 1 18043 KachelY 19672 0.31810927 -0.59242339 18.226319 -33.943360
    Unten links KachelX 18042 KachelY + 1 19673 0.31791752 -0.59258245 18.215332 -33.952473
    Unten rechts KachelX + 1 18043 KachelY + 1 19673 0.31810927 -0.59258245 18.226319 -33.952473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59242339--0.59258245) × R
    0.000159059999999989 × 6371000     		dl = 1013.37125999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59242339--0.59258245) × R
    0.000159059999999989 × 6371000     		dr = 1013.37125999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31791752-0.31810927) × cos(-0.59242339) × R
    0.000191749999999991 × 0.829589960699599 × 6371000     		do = 1013.45965739654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31791752-0.31810927) × cos(-0.59258245) × R
    0.000191749999999991 × 0.82950113538343 × 6371000     		du = 1013.35114490391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59242339)-sin(-0.59258245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829589960699599-0.82950113538343)×R²
    abs(0.31810927-0.31791752)×8.88253161687169e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88253161687169e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88253161687169e-05×40589641000000     		ar = 1026955.91041952m²