Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18042 / 18802
↖ ↑ ↗
← S 25.661333°
E 18.215332°		 ← 1 101.15 m → S 25.661333°
E 18.226319°		 →
↑
1 101.10 m
↓
↑
1 101.10 m
↓
S 25.671236°
E 18.215332°		 ← 1 101.06 m →
1 212 424 m²		 S 25.671236°
E 18.226319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550613403320312 y=0.573806762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550613403320312 × 215)
    floor (0.550613403320312 × 32768)
    floor (18042.5)     		tx = 18042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573806762695312 × 215)
    floor (0.573806762695312 × 32768)
    floor (18802.5)     		ty = 18802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18042 / 18802 ti = "15/18042/18802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18042/18802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18042 ÷ 215
    18042 ÷ 32768     		x = 0.55059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18802 ÷ 215
    18802 ÷ 32768     		y = 0.57379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55059814453125 × 2 - 1) × π
    0.1011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31791752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.1475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.463645693125183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31791752} λ = 0.31791752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.463645693125183))-π/2
    2×atan(0.628986369187143)-π/2
    2×0.5614607833989-π/2
    1.1229215667978-1.57079632675     		φ = -0.44787476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31791752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.215332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44787476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.661333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18042 KachelY 18802 0.31791752 -0.44787476 18.215332 -25.661333
    Oben rechts KachelX + 1 18043 KachelY 18802 0.31810927 -0.44787476 18.226319 -25.661333
    Unten links KachelX 18042 KachelY + 1 18803 0.31791752 -0.44804759 18.215332 -25.671236
    Unten rechts KachelX + 1 18043 KachelY + 1 18803 0.31810927 -0.44804759 18.226319 -25.671236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44787476--0.44804759) × R
    0.000172830000000013 × 6371000     		dl = 1101.09993000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44787476--0.44804759) × R
    0.000172830000000013 × 6371000     		dr = 1101.09993000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31791752-0.31810927) × cos(-0.44787476) × R
    0.000191749999999991 × 0.901369474309311 × 6371000     		do = 1101.14832856807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31791752-0.31810927) × cos(-0.44804759) × R
    0.000191749999999991 × 0.901294616662826 × 6371000     		du = 1101.05687952896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44787476)-sin(-0.44804759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901369474309311-0.901294616662826)×R²
    abs(0.31810927-0.31791752)×7.48576464851824e-05×R²
    0.000191749999999991×7.48576464851824e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.48576464851824e-05×40589641000000     		ar = 1212424.00325868m²