Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18040 / 52474
↖ ↑ ↗
← S 72.806334°
W 80.903321°		 ← 180.57 m → S 72.806334°
W 80.897827°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
S 72.807958°
W 80.903321°		 ← 180.55 m →
32 601 m²		 S 72.807958°
W 80.897827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275276184082031 y=0.800697326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275276184082031 × 216)
    floor (0.275276184082031 × 65536)
    floor (18040.5)     		tx = 18040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800697326660156 × 216)
    floor (0.800697326660156 × 65536)
    floor (52474.5)     		ty = 52474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18040 / 52474 ti = "16/18040/52474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18040/52474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18040 ÷ 216
    18040 ÷ 65536     		x = 0.2752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52474 ÷ 216
    52474 ÷ 65536     		y = 0.800689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41202932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800689697265625 × 2 - 1) × π
    -0.60137939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88928908782565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41202932} λ = -1.41202932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88928908782565))-π/2
    2×atan(0.151179245809074)-π/2
    2×0.150043044253763-π/2
    0.300086088507527-1.57079632675     		φ = -1.27071024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41202932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.903321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27071024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.806334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18040 KachelY 52474 -1.41202932 -1.27071024 -80.903321 -72.806334
    Oben rechts KachelX + 1 18041 KachelY 52474 -1.41193344 -1.27071024 -80.897827 -72.806334
    Unten links KachelX 18040 KachelY + 1 52475 -1.41202932 -1.27073858 -80.903321 -72.807958
    Unten rechts KachelX + 1 18041 KachelY + 1 52475 -1.41193344 -1.27073858 -80.897827 -72.807958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27071024--1.27073858) × R
    2.8339999999849e-05 × 6371000     		dl = 180.554139999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27071024--1.27073858) × R
    2.8339999999849e-05 × 6371000     		dr = 180.554139999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41202932--1.41193344) × cos(-1.27071024) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.295602447422594 × 6371000     		do = 180.569192499595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41202932--1.41193344) × cos(-1.27073858) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.295575373788869 × 6371000     		du = 180.552654530366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27071024)-sin(-1.27073858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295602447422594-0.295575373788869)×R²
    abs(-1.41193344--1.41202932)×2.70736337245059e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.70736337245059e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.70736337245059e-05×40589641000000     		ar = 32601.0222645372m²