Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18040 / 52472
↖ ↑ ↗
← S 72.803086°
W 80.903321°		 ← 180.60 m → S 72.803086°
W 80.897827°		 →
↑
180.62 m
↓
↑
180.62 m
↓
S 72.804710°
W 80.903321°		 ← 180.59 m →
32 619 m²		 S 72.804710°
W 80.897827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275276184082031 y=0.800666809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275276184082031 × 216)
    floor (0.275276184082031 × 65536)
    floor (18040.5)     		tx = 18040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800666809082031 × 216)
    floor (0.800666809082031 × 65536)
    floor (52472.5)     		ty = 52472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18040 / 52472 ti = "16/18040/52472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18040/52472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18040 ÷ 216
    18040 ÷ 65536     		x = 0.2752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52472 ÷ 216
    52472 ÷ 65536     		y = 0.8006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41202932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8006591796875 × 2 - 1) × π
    -0.601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88909734022717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41202932} λ = -1.41202932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88909734022717))-π/2
    2×atan(0.15120823684579)-π/2
    2×0.150071387379452-π/2
    0.300142774758904-1.57079632675     		φ = -1.27065355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41202932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.903321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27065355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.803086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18040 KachelY 52472 -1.41202932 -1.27065355 -80.903321 -72.803086
    Oben rechts KachelX + 1 18041 KachelY 52472 -1.41193344 -1.27065355 -80.897827 -72.803086
    Unten links KachelX 18040 KachelY + 1 52473 -1.41202932 -1.27068190 -80.903321 -72.804710
    Unten rechts KachelX + 1 18041 KachelY + 1 52473 -1.41193344 -1.27068190 -80.897827 -72.804710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27065355--1.27068190) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dl = 180.617850000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27065355--1.27068190) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dr = 180.617850000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41202932--1.41193344) × cos(-1.27065355) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29565660353072 × 6371000     		do = 180.602273838395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41202932--1.41193344) × cos(-1.27068190) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.295629520818904 × 6371000     		du = 180.5857303238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27065355)-sin(-1.27068190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29565660353072-0.295629520818904)×R²
    abs(-1.41193344--1.41202932)×2.70827118163397e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.70827118163397e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.70827118163397e-05×40589641000000     		ar = 32618.5003812114m²