Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1804 / 2318
↖ ↑ ↗
← N 61.312451°
W100.722656°		 ← 2 345.68 m → N 61.312451°
W100.678711°		 →
↑
2 346.44 m
↓
↑
2 346.44 m
↓
N 61.291349°
W100.722656°		 ← 2 347.26 m →
5 505 842 m²		 N 61.291349°
W100.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22027587890625 y=0.28302001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22027587890625 × 213)
    floor (0.22027587890625 × 8192)
    floor (1804.5)     		tx = 1804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28302001953125 × 213)
    floor (0.28302001953125 × 8192)
    floor (2318.5)     		ty = 2318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1804 / 2318 ti = "13/1804/2318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1804/2318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1804 ÷ 213
    1804 ÷ 8192     		x = 0.22021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2318 ÷ 213
    2318 ÷ 8192     		y = 0.282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22021484375 × 2 - 1) × π
    -0.5595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75794198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282958984375 × 2 - 1) × π
    0.43408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36370892039136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75794198} λ = -1.75794198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36370892039136))-π/2
    2×atan(3.91067080393622)-π/2
    2×1.32045023961335-π/2
    2.6409004792267-1.57079632675     		φ = 1.07010415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75794198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07010415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.312451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1804 KachelY 2318 -1.75794198 1.07010415 -100.722656 61.312451
    Oben rechts KachelX + 1 1805 KachelY 2318 -1.75717499 1.07010415 -100.678711 61.312451
    Unten links KachelX 1804 KachelY + 1 2319 -1.75794198 1.06973585 -100.722656 61.291349
    Unten rechts KachelX + 1 1805 KachelY + 1 2319 -1.75717499 1.06973585 -100.678711 61.291349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07010415-1.06973585) × R
    0.000368299999999877 × 6371000     		dl = 2346.43929999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07010415-1.06973585) × R
    0.000368299999999877 × 6371000     		dr = 2346.43929999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75794198--1.75717499) × cos(1.07010415) × R
    0.000766990000000023 × 0.480032865992172 × 6371000     		do = 2345.67737865029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75794198--1.75717499) × cos(1.06973585) × R
    0.000766990000000023 × 0.480355924788656 × 6371000     		du = 2347.25600329158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07010415)-sin(1.06973585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480032865992172-0.480355924788656)×R²
    abs(-1.75717499--1.75794198)×0.000323058796484255×R²
    0.000766990000000023×0.000323058796484255×6371000²
    0.000766990000000023×0.000323058796484255×40589641000000     		ar = 5505841.72206879m²