Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1804 / 1797
↖ ↑ ↗
← N 70.539543°
W100.722656°		 ← 1 627.97 m → N 70.539543°
W100.678711°		 →
↑
1 628.56 m
↓
↑
1 628.56 m
↓
N 70.524897°
W100.722656°		 ← 1 629.14 m →
2 652 190 m²		 N 70.524897°
W100.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22027587890625 y=0.21942138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22027587890625 × 213)
    floor (0.22027587890625 × 8192)
    floor (1804.5)     		tx = 1804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21942138671875 × 213)
    floor (0.21942138671875 × 8192)
    floor (1797.5)     		ty = 1797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1804 / 1797 ti = "13/1804/1797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1804/1797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1804 ÷ 213
    1804 ÷ 8192     		x = 0.22021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1797 ÷ 213
    1797 ÷ 8192     		y = 0.2193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22021484375 × 2 - 1) × π
    -0.5595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75794198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2193603515625 × 2 - 1) × π
    0.561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76331091562415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75794198} λ = -1.75794198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76331091562415))-π/2
    2×atan(5.83171377781636)-π/2
    2×1.40097180403346-π/2
    2.80194360806693-1.57079632675     		φ = 1.23114728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75794198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23114728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.539543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1804 KachelY 1797 -1.75794198 1.23114728 -100.722656 70.539543
    Oben rechts KachelX + 1 1805 KachelY 1797 -1.75717499 1.23114728 -100.678711 70.539543
    Unten links KachelX 1804 KachelY + 1 1798 -1.75794198 1.23089166 -100.722656 70.524897
    Unten rechts KachelX + 1 1805 KachelY + 1 1798 -1.75717499 1.23089166 -100.678711 70.524897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23114728-1.23089166) × R
    0.000255620000000123 × 6371000     		dl = 1628.55502000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23114728-1.23089166) × R
    0.000255620000000123 × 6371000     		dr = 1628.55502000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75794198--1.75717499) × cos(1.23114728) × R
    0.000766990000000023 × 0.333156208838619 × 6371000     		do = 1627.9655790118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75794198--1.75717499) × cos(1.23089166) × R
    0.000766990000000023 × 0.333397214801624 × 6371000     		du = 1629.14325303287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23114728)-sin(1.23089166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333156208838619-0.333397214801624)×R²
    abs(-1.75717499--1.75794198)×0.000241005963005525×R²
    0.000766990000000023×0.000241005963005525×6371000²
    0.000766990000000023×0.000241005963005525×40589641000000     		ar = 2652190.48399679m²