Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18039 / 52469
↖ ↑ ↗
← S 72.798213°
W 80.908814°		 ← 180.63 m → S 72.798213°
W 80.903321°		 →
↑
180.68 m
↓
↑
180.68 m
↓
S 72.799838°
W 80.908814°		 ← 180.62 m →
32 636 m²		 S 72.799838°
W 80.903321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275260925292969 y=0.800621032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275260925292969 × 216)
    floor (0.275260925292969 × 65536)
    floor (18039.5)     		tx = 18039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800621032714844 × 216)
    floor (0.800621032714844 × 65536)
    floor (52469.5)     		ty = 52469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18039 / 52469 ti = "16/18039/52469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18039/52469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18039 ÷ 216
    18039 ÷ 65536     		x = 0.275253295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52469 ÷ 216
    52469 ÷ 65536     		y = 0.800613403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275253295898438 × 2 - 1) × π
    -0.449493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41212519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800613403320312 × 2 - 1) × π
    -0.601226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88880971882945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41212519} λ = -1.41212519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88880971882945))-π/2
    2×atan(0.15125173382525)-π/2
    2×0.150113911803701-π/2
    0.300227823607401-1.57079632675     		φ = -1.27056850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41212519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.908814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27056850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.798213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18039 KachelY 52469 -1.41212519 -1.27056850 -80.908814 -72.798213
    Oben rechts KachelX + 1 18040 KachelY 52469 -1.41202932 -1.27056850 -80.903321 -72.798213
    Unten links KachelX 18039 KachelY + 1 52470 -1.41212519 -1.27059686 -80.908814 -72.799838
    Unten rechts KachelX + 1 18040 KachelY + 1 52470 -1.41202932 -1.27059686 -80.903321 -72.799838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27056850--1.27059686) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dl = 180.681559999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27056850--1.27059686) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dr = 180.681559999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41212519--1.41202932) × cos(-1.27056850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295737850240327 × 6371000     		do = 180.633062052879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41212519--1.41202932) × cos(-1.27059686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295710758688678 × 6371000     		du = 180.616514864462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27056850)-sin(-1.27059686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295737850240327-0.295710758688678)×R²
    abs(-1.41202932--1.41212519)×2.70915516485948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70915516485948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70915516485948e-05×40589641000000     		ar = 32635.5685553689m²