Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18039 / 26006
↖ ↑ ↗
← S 72.040066°
E 18.182373°		 ← 376.68 m → S 72.040066°
E 18.193359°		 →
↑
376.65 m
↓
↑
376.65 m
↓
S 72.043453°
E 18.182373°		 ← 376.61 m →
141 863 m²		 S 72.043453°
E 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550521850585938 y=0.793655395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550521850585938 × 215)
    floor (0.550521850585938 × 32768)
    floor (18039.5)     		tx = 18039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793655395507812 × 215)
    floor (0.793655395507812 × 32768)
    floor (26006.5)     		ty = 26006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18039 / 26006 ti = "15/18039/26006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18039/26006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18039 ÷ 215
    18039 ÷ 32768     		x = 0.550506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26006 ÷ 215
    26006 ÷ 32768     		y = 0.79364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550506591796875 × 2 - 1) × π
    0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.5872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84499539257672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31734228} λ = 0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84499539257672))-π/2
    2×atan(0.158026048980867)-π/2
    2×0.156729992449356-π/2
    0.313459984898712-1.57079632675     		φ = -1.25733634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25733634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.040066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18039 KachelY 26006 0.31734228 -1.25733634 18.182373 -72.040066
    Oben rechts KachelX + 1 18040 KachelY 26006 0.31753402 -1.25733634 18.193359 -72.040066
    Unten links KachelX 18039 KachelY + 1 26007 0.31734228 -1.25739546 18.182373 -72.043453
    Unten rechts KachelX + 1 18040 KachelY + 1 26007 0.31753402 -1.25739546 18.193359 -72.043453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25733634--1.25739546) × R
    5.91199999999681e-05 × 6371000     		dl = 376.653519999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25733634--1.25739546) × R
    5.91199999999681e-05 × 6371000     		dr = 376.653519999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31734228-0.31753402) × cos(-1.25733634) × R
    0.000191739999999996 × 0.308351865440886 × 6371000     		do = 376.67509653595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31734228-0.31753402) × cos(-1.25739546) × R
    0.000191739999999996 × 0.308295625679373 × 6371000     		du = 376.606395418909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25733634)-sin(-1.25739546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308351865440886-0.308295625679373)×R²
    abs(0.31753402-0.31734228)×5.62397615135324e-05×R²
    0.000191739999999996×5.62397615135324e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.62397615135324e-05×40589641000000     		ar = 141863.062788601m²