Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18038 / 18896
↖ ↑ ↗
← S 26.588527°
E 18.171387°		 ← 1 092.44 m → S 26.588527°
E 18.182373°		 →
↑
1 092.37 m
↓
↑
1 092.37 m
↓
S 26.598351°
E 18.171387°		 ← 1 092.35 m →
1 193 303 m²		 S 26.598351°
E 18.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550491333007812 y=0.576675415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550491333007812 × 215)
    floor (0.550491333007812 × 32768)
    floor (18038.5)     		tx = 18038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576675415039062 × 215)
    floor (0.576675415039062 × 32768)
    floor (18896.5)     		ty = 18896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18038 / 18896 ti = "15/18038/18896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18038/18896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18038 ÷ 215
    18038 ÷ 32768     		x = 0.55047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18896 ÷ 215
    18896 ÷ 32768     		y = 0.57666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55047607421875 × 2 - 1) × π
    0.1009521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31715053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31715053} λ = 0.31715053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481669967382324))-π/2
    2×atan(0.617750906073797)-π/2
    2×0.553369492415388-π/2
    1.10673898483078-1.57079632675     		φ = -0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31715053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.171387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18038 KachelY 18896 0.31715053 -0.46405734 18.171387 -26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 18039 KachelY 18896 0.31734228 -0.46405734 18.182373 -26.588527
    Unten links KachelX 18038 KachelY + 1 18897 0.31715053 -0.46422880 18.171387 -26.598351
    Unten rechts KachelX + 1 18039 KachelY + 1 18897 0.31734228 -0.46422880 18.182373 -26.598351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46405734--0.46422880) × R
    0.000171460000000012 × 6371000     		dl = 1092.37166000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46405734--0.46422880) × R
    0.000171460000000012 × 6371000     		dr = 1092.37166000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31715053-0.31734228) × cos(-0.46405734) × R
    0.000191749999999991 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 1092.44342123556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31715053-0.31734228) × cos(-0.46422880) × R
    0.000191749999999991 × 0.894167123436991 × 6371000     		du = 1092.34965405017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46405734)-sin(-0.46422880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.894167123436991)×R²
    abs(0.31734228-0.31715053)×7.67552167243446e-05×R²
    0.000191749999999991×7.67552167243446e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.67552167243446e-05×40589641000000     		ar = 1193303.02212671m²