Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18035 / 23691
↖ ↑ ↗
← S 62.324106°
E 18.138428°		 ← 567.38 m → S 62.324106°
E 18.149414°		 →
↑
567.40 m
↓
↑
567.40 m
↓
S 62.329209°
E 18.138428°		 ← 567.29 m →
321 907 m²		 S 62.329209°
E 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550399780273438 y=0.723007202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550399780273438 × 215)
    floor (0.550399780273438 × 32768)
    floor (18035.5)     		tx = 18035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723007202148438 × 215)
    floor (0.723007202148438 × 32768)
    floor (23691.5)     		ty = 23691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18035 / 23691 ti = "15/18035/23691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18035/23691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18035 ÷ 215
    18035 ÷ 32768     		x = 0.550384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23691 ÷ 215
    23691 ÷ 32768     		y = 0.722991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550384521484375 × 2 - 1) × π
    0.10076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31657529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.44598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.401099702095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31657529} λ = 0.31657529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.401099702095))-π/2
    2×atan(0.24632592979946)-π/2
    2×0.241517736582916-π/2
    0.483035473165831-1.57079632675     		φ = -1.08776085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31657529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.138428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08776085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.324106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18035 KachelY 23691 0.31657529 -1.08776085 18.138428 -62.324106
    Oben rechts KachelX + 1 18036 KachelY 23691 0.31676703 -1.08776085 18.149414 -62.324106
    Unten links KachelX 18035 KachelY + 1 23692 0.31657529 -1.08784991 18.138428 -62.329209
    Unten rechts KachelX + 1 18036 KachelY + 1 23692 0.31676703 -1.08784991 18.149414 -62.329209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08776085--1.08784991) × R
    8.90600000000852e-05 × 6371000     		dl = 567.401260000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08776085--1.08784991) × R
    8.90600000000852e-05 × 6371000     		dr = 567.401260000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31657529-0.31676703) × cos(-1.08776085) × R
    0.000191739999999996 × 0.464469496469419 × 6371000     		do = 567.384575963147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31657529-0.31676703) × cos(-1.08784991) × R
    0.000191739999999996 × 0.464390624060615 × 6371000     		du = 567.28822735777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08776085)-sin(-1.08784991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464469496469419-0.464390624060615)×R²
    abs(0.31676703-0.31657529)×7.88724088041648e-05×R²
    0.000191739999999996×7.88724088041648e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.88724088041648e-05×40589641000000     		ar = 321907.389359674m²