Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18035 / 18962
↖ ↑ ↗
← S 27.235094°
E 18.138428°		 ← 1 086.15 m → S 27.235094°
E 18.149414°		 →
↑
1 086.19 m
↓
↑
1 086.19 m
↓
S 27.244863°
E 18.138428°		 ← 1 086.05 m →
1 179 712 m²		 S 27.244863°
E 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550399780273438 y=0.578689575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550399780273438 × 215)
    floor (0.550399780273438 × 32768)
    floor (18035.5)     		tx = 18035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578689575195312 × 215)
    floor (0.578689575195312 × 32768)
    floor (18962.5)     		ty = 18962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18035 / 18962 ti = "15/18035/18962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18035/18962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18035 ÷ 215
    18035 ÷ 32768     		x = 0.550384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18962 ÷ 215
    18962 ÷ 32768     		y = 0.57867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550384521484375 × 2 - 1) × π
    0.10076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31657529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.494325308882019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31657529} λ = 0.31657529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.494325308882019))-π/2
    2×atan(0.609982318145258)-π/2
    2×0.547727126904637-π/2
    1.09545425380927-1.57079632675     		φ = -0.47534207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31657529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.138428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47534207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.235094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18035 KachelY 18962 0.31657529 -0.47534207 18.138428 -27.235094
    Oben rechts KachelX + 1 18036 KachelY 18962 0.31676703 -0.47534207 18.149414 -27.235094
    Unten links KachelX 18035 KachelY + 1 18963 0.31657529 -0.47551256 18.138428 -27.244863
    Unten rechts KachelX + 1 18036 KachelY + 1 18963 0.31676703 -0.47551256 18.149414 -27.244863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47534207--0.47551256) × R
    0.000170489999999968 × 6371000     		dl = 1086.19178999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47534207--0.47551256) × R
    0.000170489999999968 × 6371000     		dr = 1086.19178999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31657529-0.31676703) × cos(-0.47534207) × R
    0.000191739999999996 × 0.889136227834684 × 6371000     		do = 1086.14706765069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31657529-0.31676703) × cos(-0.47551256) × R
    0.000191739999999996 × 0.889058191422456 × 6371000     		du = 1086.05174027829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47534207)-sin(-0.47551256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889136227834684-0.889058191422456)×R²
    abs(0.31676703-0.31657529)×7.80364122285881e-05×R²
    0.000191739999999996×7.80364122285881e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.80364122285881e-05×40589641000000     		ar = 1179712.25856733m²