Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18034 / 52473
↖ ↑ ↗
← S 72.804710°
W 80.936279°		 ← 180.59 m → S 72.804710°
W 80.930786°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
S 72.806334°
W 80.936279°		 ← 180.57 m →
32 604 m²		 S 72.806334°
W 80.930786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275184631347656 y=0.800682067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275184631347656 × 216)
    floor (0.275184631347656 × 65536)
    floor (18034.5)     		tx = 18034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800682067871094 × 216)
    floor (0.800682067871094 × 65536)
    floor (52473.5)     		ty = 52473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18034 / 52473 ti = "16/18034/52473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18034/52473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18034 ÷ 216
    18034 ÷ 65536     		x = 0.275177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52473 ÷ 216
    52473 ÷ 65536     		y = 0.800674438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.44964599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41260456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800674438476562 × 2 - 1) × π
    -0.601348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88919321402641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41260456} λ = -1.41260456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88919321402641))-π/2
    2×atan(0.151193740632562)-π/2
    2×0.150057215167632-π/2
    0.300114430335263-1.57079632675     		φ = -1.27068190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41260456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.936279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27068190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.804710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18034 KachelY 52473 -1.41260456 -1.27068190 -80.936279 -72.804710
    Oben rechts KachelX + 1 18035 KachelY 52473 -1.41250868 -1.27068190 -80.930786 -72.804710
    Unten links KachelX 18034 KachelY + 1 52474 -1.41260456 -1.27071024 -80.936279 -72.806334
    Unten rechts KachelX + 1 18035 KachelY + 1 52474 -1.41250868 -1.27071024 -80.930786 -72.806334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27068190--1.27071024) × R
    2.83400000000711e-05 × 6371000     		dl = 180.554140000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27068190--1.27071024) × R
    2.83400000000711e-05 × 6371000     		dr = 180.554140000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41260456--1.41250868) × cos(-1.27068190) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.295629520818904 × 6371000     		do = 180.5857303238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41260456--1.41250868) × cos(-1.27071024) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.295602447422594 × 6371000     		du = 180.569192499595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27068190)-sin(-1.27071024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295629520818904-0.295602447422594)×R²
    abs(-1.41250868--1.41260456)×2.70733963099734e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.70733963099734e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.70733963099734e-05×40589641000000     		ar = 32604.0082509196m²