Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18034 / 23689
↖ ↑ ↗
← S 62.313899°
E 18.127442°		 ← 567.61 m → S 62.313899°
E 18.138428°		 →
↑
567.59 m
↓
↑
567.59 m
↓
S 62.319003°
E 18.127442°		 ← 567.51 m →
322 142 m²		 S 62.319003°
E 18.138428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550369262695312 y=0.722946166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550369262695312 × 215)
    floor (0.550369262695312 × 32768)
    floor (18034.5)     		tx = 18034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722946166992188 × 215)
    floor (0.722946166992188 × 32768)
    floor (23689.5)     		ty = 23689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18034 / 23689 ti = "15/18034/23689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18034/23689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18034 ÷ 215
    18034 ÷ 32768     		x = 0.55035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23689 ÷ 215
    23689 ÷ 32768     		y = 0.722930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55035400390625 × 2 - 1) × π
    0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.44586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40071620689804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31638354} λ = 0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40071620689804))-π/2
    2×atan(0.246420412726142)-π/2
    2×0.241606812617452-π/2
    0.483213625234904-1.57079632675     		φ = -1.08758270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08758270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.313899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18034 KachelY 23689 0.31638354 -1.08758270 18.127442 -62.313899
    Oben rechts KachelX + 1 18035 KachelY 23689 0.31657529 -1.08758270 18.138428 -62.313899
    Unten links KachelX 18034 KachelY + 1 23690 0.31638354 -1.08767179 18.127442 -62.319003
    Unten rechts KachelX + 1 18035 KachelY + 1 23690 0.31657529 -1.08767179 18.138428 -62.319003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08758270--1.08767179) × R
    8.90899999999029e-05 × 6371000     		dl = 567.592389999381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08758270--1.08767179) × R
    8.90899999999029e-05 × 6371000     		dr = 567.592389999381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31638354-0.31657529) × cos(-1.08758270) × R
    0.000191749999999991 × 0.464627256799518 × 6371000     		do = 567.606893526092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31638354-0.31657529) × cos(-1.08767179) × R
    0.000191749999999991 × 0.464548365194198 × 6371000     		du = 567.510516444539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08758270)-sin(-1.08767179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464627256799518-0.464548365194198)×R²
    abs(0.31657529-0.31638354)×7.8891605319209e-05×R²
    0.000191749999999991×7.8891605319209e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.8891605319209e-05×40589641000000     		ar = 322142.002041167m²