Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18032 / 9458
↖ ↑ ↗
← N 82.219425°
W130.473633°		 ← 41.35 m → N 82.219425°
W130.470886°		 →
↑
41.35 m
↓
↑
41.35 m
↓
N 82.219053°
W130.473633°		 ← 41.35 m →
1 710 m²		 N 82.219053°
W130.470886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137577056884766 y=0.0721626281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137577056884766 × 217)
    floor (0.137577056884766 × 131072)
    floor (18032.5)     		tx = 18032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0721626281738281 × 217)
    floor (0.0721626281738281 × 131072)
    floor (9458.5)     		ty = 9458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18032 / 9458 ti = "17/18032/9458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18032/9458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18032 ÷ 217
    18032 ÷ 131072     		x = 0.1375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9458 ÷ 217
    9458 ÷ 131072     		y = 0.0721588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27719448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0721588134765625 × 2 - 1) × π
    0.855682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.68820545689351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27719448} λ = -2.27719448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68820545689351))-π/2
    2×atan(14.7052629996233)-π/2
    2×1.50289799680425-π/2
    3.00579599360851-1.57079632675     		φ = 1.43499967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27719448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.473633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43499967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.219425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18032 KachelY 9458 -2.27719448 1.43499967 -130.473633 82.219425
    Oben rechts KachelX + 1 18033 KachelY 9458 -2.27714654 1.43499967 -130.470886 82.219425
    Unten links KachelX 18032 KachelY + 1 9459 -2.27719448 1.43499318 -130.473633 82.219053
    Unten rechts KachelX + 1 18033 KachelY + 1 9459 -2.27714654 1.43499318 -130.470886 82.219053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43499967-1.43499318) × R
    6.49000000008115e-06 × 6371000     		dl = 41.347790000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43499967-1.43499318) × R
    6.49000000008115e-06 × 6371000     		dr = 41.347790000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27719448--2.27714654) × cos(1.43499967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.135379676492744 × 6371000     		do = 41.3484378737299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27719448--2.27714654) × cos(1.43499318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.135386106741619 × 6371000     		du = 41.350401837251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43499967)-sin(1.43499318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135379676492744-0.135386106741619)×R²
    abs(-2.27714654--2.27719448)×6.43024887514443e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.43024887514443e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.43024887514443e-06×40589641000000     		ar = 1709.70712895605m²