Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18032 / 52624
↖ ↑ ↗
← S 73.048237°
W 80.947266°		 ← 178.10 m → S 73.048237°
W 80.941772°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
S 73.049838°
W 80.947266°		 ← 178.09 m →
31 713 m²		 S 73.049838°
W 80.941772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275154113769531 y=0.802986145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275154113769531 × 216)
    floor (0.275154113769531 × 65536)
    floor (18032.5)     		tx = 18032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802986145019531 × 216)
    floor (0.802986145019531 × 65536)
    floor (52624.5)     		ty = 52624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18032 / 52624 ti = "16/18032/52624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18032/52624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18032 ÷ 216
    18032 ÷ 65536     		x = 0.275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52624 ÷ 216
    52624 ÷ 65536     		y = 0.802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.44970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41279631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.60595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90367015771167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41279631} λ = -1.41279631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90367015771167))-π/2
    2×atan(0.149020684919085)-π/2
    2×0.147932044925229-π/2
    0.295864089850458-1.57079632675     		φ = -1.27493224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41279631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.947266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27493224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.048237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18032 KachelY 52624 -1.41279631 -1.27493224 -80.947266 -73.048237
    Oben rechts KachelX + 1 18033 KachelY 52624 -1.41270043 -1.27493224 -80.941772 -73.048237
    Unten links KachelX 18032 KachelY + 1 52625 -1.41279631 -1.27496019 -80.947266 -73.049838
    Unten rechts KachelX + 1 18033 KachelY + 1 52625 -1.41270043 -1.27496019 -80.941772 -73.049838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27493224--1.27496019) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27493224--1.27496019) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41279631--1.41270043) × cos(-1.27493224) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.291566501577403 × 6371000     		do = 178.103829007275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41279631--1.41270043) × cos(-1.27496019) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.291539765875349 × 6371000     		du = 178.087497464106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27493224)-sin(-1.27496019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291566501577403-0.291539765875349)×R²
    abs(-1.41270043--1.41279631)×2.6735702054026e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.6735702054026e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.6735702054026e-05×40589641000000     		ar = 31713.3968017295m²