Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18032 / 52464
↖ ↑ ↗
← S 72.790088°
W 80.947266°		 ← 180.73 m → S 72.790088°
W 80.941772°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
S 72.791714°
W 80.947266°		 ← 180.72 m →
32 665 m²		 S 72.791714°
W 80.941772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275154113769531 y=0.800544738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275154113769531 × 216)
    floor (0.275154113769531 × 65536)
    floor (18032.5)     		tx = 18032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800544738769531 × 216)
    floor (0.800544738769531 × 65536)
    floor (52464.5)     		ty = 52464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18032 / 52464 ti = "16/18032/52464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18032/52464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18032 ÷ 216
    18032 ÷ 65536     		x = 0.275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52464 ÷ 216
    52464 ÷ 65536     		y = 0.800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.44970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41279631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.60107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88833034983325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41279631} λ = -1.41279631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88833034983325))-π/2
    2×atan(0.151324256598263)-π/2
    2×0.150184811813192-π/2
    0.300369623626384-1.57079632675     		φ = -1.27042670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41279631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.947266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27042670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.790088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18032 KachelY 52464 -1.41279631 -1.27042670 -80.947266 -72.790088
    Oben rechts KachelX + 1 18033 KachelY 52464 -1.41270043 -1.27042670 -80.941772 -72.790088
    Unten links KachelX 18032 KachelY + 1 52465 -1.41279631 -1.27045507 -80.947266 -72.791714
    Unten rechts KachelX + 1 18033 KachelY + 1 52465 -1.41270043 -1.27045507 -80.941772 -72.791714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27042670--1.27045507) × R
    2.83699999998888e-05 × 6371000     		dl = 180.745269999291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27042670--1.27045507) × R
    2.83699999998888e-05 × 6371000     		dr = 180.745269999291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41279631--1.41270043) × cos(-1.27042670) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.295873304430251 × 6371000     		do = 180.734645904009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41279631--1.41270043) × cos(-1.27045507) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.295846204515759 × 6371000     		du = 180.718091881134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27042670)-sin(-1.27045507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295873304430251-0.295846204515759)×R²
    abs(-1.41270043--1.41279631)×2.70999144920681e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.70999144920681e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.70999144920681e-05×40589641000000     		ar = 32665.4363437169m²