Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18032 / 19247
↖ ↑ ↗
← S 29.983486°
E 18.105469°		 ← 1 058.15 m → S 29.983486°
E 18.116455°		 →
↑
1 058.10 m
↓
↑
1 058.10 m
↓
S 29.993002°
E 18.105469°		 ← 1 058.05 m →
1 119 567 m²		 S 29.993002°
E 18.116455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550308227539062 y=0.587387084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550308227539062 × 215)
    floor (0.550308227539062 × 32768)
    floor (18032.5)     		tx = 18032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587387084960938 × 215)
    floor (0.587387084960938 × 32768)
    floor (19247.5)     		ty = 19247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18032 / 19247 ti = "15/18032/19247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18032/19247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18032 ÷ 215
    18032 ÷ 32768     		x = 0.55029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19247 ÷ 215
    19247 ÷ 32768     		y = 0.587371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55029296875 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.17474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.548973374448883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31600004} λ = 0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548973374448883))-π/2
    2×atan(0.577542425942625)-π/2
    2×0.523742881171557-π/2
    1.04748576234311-1.57079632675     		φ = -0.52331056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52331056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.983486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18032 KachelY 19247 0.31600004 -0.52331056 18.105469 -29.983486
    Oben rechts KachelX + 1 18033 KachelY 19247 0.31619179 -0.52331056 18.116455 -29.983486
    Unten links KachelX 18032 KachelY + 1 19248 0.31600004 -0.52347664 18.105469 -29.993002
    Unten rechts KachelX + 1 18033 KachelY + 1 19248 0.31619179 -0.52347664 18.116455 -29.993002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52331056--0.52347664) × R
    0.000166080000000068 × 6371000     		dl = 1058.09568000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52331056--0.52347664) × R
    0.000166080000000068 × 6371000     		dr = 1058.09568000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31600004-0.31619179) × cos(-0.52331056) × R
    0.000191749999999991 × 0.866169475611994 × 6371000     		do = 1058.14662855948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31600004-0.31619179) × cos(-0.52347664) × R
    0.000191749999999991 × 0.866086465124141 × 6371000     		du = 1058.04521968935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52331056)-sin(-0.52347664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866169475611994-0.866086465124141)×R²
    abs(0.31619179-0.31600004)×8.30104878534188e-05×R²
    0.000191749999999991×8.30104878534188e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.30104878534188e-05×40589641000000     		ar = 1119566.72891533m²