Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18031 / 52465
↖ ↑ ↗
← S 72.791714°
W 80.952759°		 ← 180.70 m → S 72.791714°
W 80.947266°		 →
↑
180.68 m
↓
↑
180.68 m
↓
S 72.793338°
W 80.952759°		 ← 180.68 m →
32 648 m²		 S 72.793338°
W 80.947266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275138854980469 y=0.800559997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275138854980469 × 216)
    floor (0.275138854980469 × 65536)
    floor (18031.5)     		tx = 18031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800559997558594 × 216)
    floor (0.800559997558594 × 65536)
    floor (52465.5)     		ty = 52465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18031 / 52465 ti = "16/18031/52465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18031/52465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18031 ÷ 216
    18031 ÷ 65536     		x = 0.275131225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52465 ÷ 216
    52465 ÷ 65536     		y = 0.800552368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275131225585938 × 2 - 1) × π
    -0.449737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41289218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800552368164062 × 2 - 1) × π
    -0.601104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88842622363249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41289218} λ = -1.41289218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88842622363249))-π/2
    2×atan(0.151309749262313)-π/2
    2×0.150170629213884-π/2
    0.300341258427768-1.57079632675     		φ = -1.27045507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41289218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.952759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27045507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.791714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18031 KachelY 52465 -1.41289218 -1.27045507 -80.952759 -72.791714
    Oben rechts KachelX + 1 18032 KachelY 52465 -1.41279631 -1.27045507 -80.947266 -72.791714
    Unten links KachelX 18031 KachelY + 1 52466 -1.41289218 -1.27048343 -80.952759 -72.793338
    Unten rechts KachelX + 1 18032 KachelY + 1 52466 -1.41279631 -1.27048343 -80.947266 -72.793338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27045507--1.27048343) × R
    2.83600000001716e-05 × 6371000     		dl = 180.681560001093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27045507--1.27048343) × R
    2.83600000001716e-05 × 6371000     		dr = 180.681560001093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41289218--1.41279631) × cos(-1.27045507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295846204515759 × 6371000     		do = 180.69924351914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41289218--1.41279631) × cos(-1.27048343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295819113915592 × 6371000     		du = 180.682696911877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27045507)-sin(-1.27048343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295846204515759-0.295819113915592)×R²
    abs(-1.41279631--1.41289218)×2.7090600166424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.7090600166424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.7090600166424e-05×40589641000000     		ar = 32647.5263790546m²