Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1803 / 1395
↖ ↑ ↗
← N 49.667628°
W 21.533203°		 ← 6 325.28 m → N 49.667628°
W 21.445312°		 →
↑
6 329.02 m
↓
↑
6 329.02 m
↓
N 49.610710°
W 21.533203°		 ← 6 332.68 m →
40 056 194 m²		 N 49.610710°
W 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4403076171875 y=0.3406982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4403076171875 × 212)
    floor (0.4403076171875 × 4096)
    floor (1803.5)     		tx = 1803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3406982421875 × 212)
    floor (0.3406982421875 × 4096)
    floor (1395.5)     		ty = 1395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1803 / 1395 ti = "12/1803/1395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1803/1395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1803 ÷ 212
    1803 ÷ 4096     		x = 0.440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1395 ÷ 212
    1395 ÷ 4096     		y = 0.340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.11962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37582529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340576171875 × 2 - 1) × π
    0.31884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00168945446069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37582529} λ = -0.37582529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00168945446069))-π/2
    2×atan(2.72287812334175)-π/2
    2×1.21882998196813-π/2
    2.43765996393626-1.57079632675     		φ = 0.86686364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37582529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86686364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.667628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1803 KachelY 1395 -0.37582529 0.86686364 -21.533203 49.667628
    Oben rechts KachelX + 1 1804 KachelY 1395 -0.37429131 0.86686364 -21.445312 49.667628
    Unten links KachelX 1803 KachelY + 1 1396 -0.37582529 0.86587023 -21.533203 49.610710
    Unten rechts KachelX + 1 1804 KachelY + 1 1396 -0.37429131 0.86587023 -21.445312 49.610710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86686364-0.86587023) × R
    0.000993410000000083 × 6371000     		dl = 6329.01511000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86686364-0.86587023) × R
    0.000993410000000083 × 6371000     		dr = 6329.01511000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37582529--0.37429131) × cos(0.86686364) × R
    0.00153397999999999 × 0.647220582517329 × 6371000     		do = 6325.2780672416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37582529--0.37429131) × cos(0.86587023) × R
    0.00153397999999999 × 0.647977542231262 × 6371000     		du = 6332.67582436746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86686364)-sin(0.86587023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647220582517329-0.647977542231262)×R²
    abs(-0.37429131--0.37582529)×0.00075695971393297×R²
    0.00153397999999999×0.00075695971393297×6371000²
    0.00153397999999999×0.00075695971393297×40589641000000     		ar = 40056194.0150074m²