Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1803 / 1321
↖ ↑ ↗
← N 76.424292°
W100.766601°		 ← 1 147.01 m → N 76.424292°
W100.722656°		 →
↑
1 147.48 m
↓
↑
1 147.48 m
↓
N 76.413973°
W100.766601°		 ← 1 147.86 m →
1 316 659 m²		 N 76.413973°
W100.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22015380859375 y=0.16131591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22015380859375 × 213)
    floor (0.22015380859375 × 8192)
    floor (1803.5)     		tx = 1803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16131591796875 × 213)
    floor (0.16131591796875 × 8192)
    floor (1321.5)     		ty = 1321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1803 / 1321 ti = "13/1803/1321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1803/1321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1803 ÷ 213
    1803 ÷ 8192     		x = 0.2200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1321 ÷ 213
    1321 ÷ 8192     		y = 0.1612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75870897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1612548828125 × 2 - 1) × π
    0.677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12839834313049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75870897} λ = -1.75870897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12839834313049))-π/2
    2×atan(8.4013998697943)-π/2
    2×1.45232592660548-π/2
    2.90465185321097-1.57079632675     		φ = 1.33385553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75870897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.766601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33385553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.424292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1803 KachelY 1321 -1.75870897 1.33385553 -100.766601 76.424292
    Oben rechts KachelX + 1 1804 KachelY 1321 -1.75794198 1.33385553 -100.722656 76.424292
    Unten links KachelX 1803 KachelY + 1 1322 -1.75870897 1.33367542 -100.766601 76.413973
    Unten rechts KachelX + 1 1804 KachelY + 1 1322 -1.75794198 1.33367542 -100.722656 76.413973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33385553-1.33367542) × R
    0.000180109999999845 × 6371000     		dl = 1147.48080999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33385553-1.33367542) × R
    0.000180109999999845 × 6371000     		dr = 1147.48080999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75870897--1.75794198) × cos(1.33385553) × R
    0.000766990000000023 × 0.234729998520367 × 6371000     		do = 1147.00656273152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75870897--1.75794198) × cos(1.33367542) × R
    0.000766990000000023 × 0.234905072548453 × 6371000     		du = 1147.86206079501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33385553)-sin(1.33367542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234729998520367-0.234905072548453)×R²
    abs(-1.75794198--1.75870897)×0.000175074028086086×R²
    0.000766990000000023×0.000175074028086086×6371000²
    0.000766990000000023×0.000175074028086086×40589641000000     		ar = 1316658.85703966m²