Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18029 / 52506
↖ ↑ ↗
← S 72.858219°
W 80.963745°		 ← 180.04 m → S 72.858219°
W 80.958252°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
S 72.859838°
W 80.963745°		 ← 180.02 m →
32 402 m²		 S 72.859838°
W 80.958252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275108337402344 y=0.801185607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275108337402344 × 216)
    floor (0.275108337402344 × 65536)
    floor (18029.5)     		tx = 18029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801185607910156 × 216)
    floor (0.801185607910156 × 65536)
    floor (52506.5)     		ty = 52506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18029 / 52506 ti = "16/18029/52506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18029/52506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18029 ÷ 216
    18029 ÷ 65536     		x = 0.275100708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52506 ÷ 216
    52506 ÷ 65536     		y = 0.801177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275100708007812 × 2 - 1) × π
    -0.449798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41308393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.60235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89235704940134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41308393} λ = -1.41308393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89235704940134))-π/2
    2×atan(0.150716144443729)-π/2
    2×0.149590259685746-π/2
    0.299180519371492-1.57079632675     		φ = -1.27161581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41308393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.963745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27161581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.858219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18029 KachelY 52506 -1.41308393 -1.27161581 -80.963745 -72.858219
    Oben rechts KachelX + 1 18030 KachelY 52506 -1.41298805 -1.27161581 -80.958252 -72.858219
    Unten links KachelX 18029 KachelY + 1 52507 -1.41308393 -1.27164406 -80.963745 -72.859838
    Unten rechts KachelX + 1 18030 KachelY + 1 52507 -1.41298805 -1.27164406 -80.958252 -72.859838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27161581--1.27164406) × R
    2.8250000000174e-05 × 6371000     		dl = 179.980750001108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27161581--1.27164406) × R
    2.8250000000174e-05 × 6371000     		dr = 179.980750001108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41308393--1.41298805) × cos(-1.27161581) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294737225312209 × 6371000     		do = 180.040670292938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41308393--1.41298805) × cos(-1.27164406) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294710230106437 × 6371000     		du = 180.024180231539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27161581)-sin(-1.27164406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294737225312209-0.294710230106437)×R²
    abs(-1.41298805--1.41308393)×2.69952057720957e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.69952057720957e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.69952057720957e-05×40589641000000     		ar = 32402.3709254684m²