Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18028 / 52652
↖ ↑ ↗
← S 73.093024°
W 80.969238°		 ← 177.63 m → S 73.093024°
W 80.963745°		 →
↑
177.62 m
↓
↑
177.62 m
↓
S 73.094621°
W 80.969238°		 ← 177.61 m →
31 550 m²		 S 73.094621°
W 80.963745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275093078613281 y=0.803413391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275093078613281 × 216)
    floor (0.275093078613281 × 65536)
    floor (18028.5)     		tx = 18028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803413391113281 × 216)
    floor (0.803413391113281 × 65536)
    floor (52652.5)     		ty = 52652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18028 / 52652 ti = "16/18028/52652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18028/52652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18028 ÷ 216
    18028 ÷ 65536     		x = 0.27508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52652 ÷ 216
    52652 ÷ 65536     		y = 0.80340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.4498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41317980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.6068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90635462409039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41317980} λ = -1.41317980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90635462409039))-π/2
    2×atan(0.148621180368866)-π/2
    2×0.147541196756027-π/2
    0.295082393512054-1.57079632675     		φ = -1.27571393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41317980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.969238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27571393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.093024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18028 KachelY 52652 -1.41317980 -1.27571393 -80.969238 -73.093024
    Oben rechts KachelX + 1 18029 KachelY 52652 -1.41308393 -1.27571393 -80.963745 -73.093024
    Unten links KachelX 18028 KachelY + 1 52653 -1.41317980 -1.27574181 -80.969238 -73.094621
    Unten rechts KachelX + 1 18029 KachelY + 1 52653 -1.41308393 -1.27574181 -80.963745 -73.094621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27571393--1.27574181) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dl = 177.623479999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27571393--1.27574181) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dr = 177.623479999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41317980--1.41308393) × cos(-1.27571393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290818686566481 × 6371000     		do = 177.628497042266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41317980--1.41308393) × cos(-1.27574181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290792011477715 × 6371000     		du = 177.612204224284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27571393)-sin(-1.27574181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290818686566481-0.290792011477715)×R²
    abs(-1.41308393--1.41317980)×2.6675088765582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6675088765582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6675088765582e-05×40589641000000     		ar = 31549.5448000891m²