Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18027 / 52462
↖ ↑ ↗
← S 72.786837°
W 80.974731°		 ← 180.75 m → S 72.786837°
W 80.969238°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
S 72.788463°
W 80.974731°		 ← 180.73 m →
32 680 m²		 S 72.788463°
W 80.969238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275077819824219 y=0.800514221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275077819824219 × 216)
    floor (0.275077819824219 × 65536)
    floor (18027.5)     		tx = 18027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800514221191406 × 216)
    floor (0.800514221191406 × 65536)
    floor (52462.5)     		ty = 52462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18027 / 52462 ti = "16/18027/52462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18027/52462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18027 ÷ 216
    18027 ÷ 65536     		x = 0.275070190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52462 ÷ 216
    52462 ÷ 65536     		y = 0.800506591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275070190429688 × 2 - 1) × π
    -0.449859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41327567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800506591796875 × 2 - 1) × π
    -0.60101318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88813860223477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41327567} λ = -1.41327567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88813860223477))-π/2
    2×atan(0.151353275443115)-π/2
    2×0.150213180908674-π/2
    0.300426361817348-1.57079632675     		φ = -1.27036996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41327567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.974731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27036996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.786837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18027 KachelY 52462 -1.41327567 -1.27036996 -80.974731 -72.786837
    Oben rechts KachelX + 1 18028 KachelY 52462 -1.41317980 -1.27036996 -80.969238 -72.786837
    Unten links KachelX 18027 KachelY + 1 52463 -1.41327567 -1.27039834 -80.974731 -72.788463
    Unten rechts KachelX + 1 18028 KachelY + 1 52463 -1.41317980 -1.27039834 -80.969238 -72.788463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27036996--1.27039834) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dl = 180.808980000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27036996--1.27039834) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dr = 180.808980000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41327567--1.41317980) × cos(-1.27036996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295927503544806 × 6371000     		do = 180.748899971795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41327567--1.41317980) × cos(-1.27039834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295900394554419 × 6371000     		du = 180.73234213201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27036996)-sin(-1.27039834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295927503544806-0.295900394554419)×R²
    abs(-1.41317980--1.41327567)×2.71089903870481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71089903870481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71089903870481e-05×40589641000000     		ar = 32679.5273390211m²