Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18026 / 19660
↖ ↑ ↗
← S 33.833920°
E 18.039551°		 ← 1 014.71 m → S 33.833920°
E 18.050537°		 →
↑
1 014.71 m
↓
↑
1 014.71 m
↓
S 33.843045°
E 18.039551°		 ← 1 014.60 m →
1 029 578 m²		 S 33.843045°
E 18.050537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550125122070312 y=0.599990844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550125122070312 × 215)
    floor (0.550125122070312 × 32768)
    floor (18026.5)     		tx = 18026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599990844726562 × 215)
    floor (0.599990844726562 × 32768)
    floor (19660.5)     		ty = 19660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18026 / 19660 ti = "15/18026/19660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18026/19660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18026 ÷ 215
    18026 ÷ 32768     		x = 0.55010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19660 ÷ 215
    19660 ÷ 32768     		y = 0.5999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55010986328125 × 2 - 1) × π
    0.1002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31484956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5999755859375 × 2 - 1) × π
    -0.199951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.628165132621216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31484956} λ = 0.31484956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628165132621216))-π/2
    2×atan(0.53356993342598)-π/2
    2×0.490141512381164-π/2
    0.980283024762329-1.57079632675     		φ = -0.59051330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31484956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.039551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59051330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.833920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18026 KachelY 19660 0.31484956 -0.59051330 18.039551 -33.833920
    Oben rechts KachelX + 1 18027 KachelY 19660 0.31504130 -0.59051330 18.050537 -33.833920
    Unten links KachelX 18026 KachelY + 1 19661 0.31484956 -0.59067257 18.039551 -33.843045
    Unten rechts KachelX + 1 18027 KachelY + 1 19661 0.31504130 -0.59067257 18.050537 -33.843045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59051330--0.59067257) × R
    0.000159269999999934 × 6371000     		dl = 1014.70916999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59051330--0.59067257) × R
    0.000159269999999934 × 6371000     		dr = 1014.70916999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31484956-0.31504130) × cos(-0.59051330) × R
    0.000191740000000051 × 0.830654989532812 × 6371000     		do = 1014.70781739251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31484956-0.31504130) × cos(-0.59067257) × R
    0.000191740000000051 × 0.830566299457025 × 6371000     		du = 1014.59947576529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59051330)-sin(-0.59067257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830654989532812-0.830566299457025)×R²
    abs(0.31504130-0.31484956)×8.86900757877118e-05×R²
    0.000191740000000051×8.86900757877118e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.86900757877118e-05×40589641000000     		ar = 1029578.36173414m²