Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18025 / 23932
↖ ↑ ↗
← S 63.528971°
E 18.028565°		 ← 544.54 m → S 63.528971°
E 18.039551°		 →
↑
544.47 m
↓
↑
544.47 m
↓
S 63.533867°
E 18.028565°		 ← 544.45 m →
296 458 m²		 S 63.533867°
E 18.039551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550094604492188 y=0.730361938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550094604492188 × 215)
    floor (0.550094604492188 × 32768)
    floor (18025.5)     		tx = 18025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730361938476562 × 215)
    floor (0.730361938476562 × 32768)
    floor (23932.5)     		ty = 23932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18025 / 23932 ti = "15/18025/23932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18025/23932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18025 ÷ 215
    18025 ÷ 32768     		x = 0.550079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23932 ÷ 215
    23932 ÷ 32768     		y = 0.7303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550079345703125 × 2 - 1) × π
    0.10015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31465781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44731087332874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31465781} λ = 0.31465781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44731087332874))-π/2
    2×atan(0.235201926208612)-π/2
    2×0.231003310234304-π/2
    0.462006620468609-1.57079632675     		φ = -1.10878971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31465781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.028565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10878971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.528971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18025 KachelY 23932 0.31465781 -1.10878971 18.028565 -63.528971
    Oben rechts KachelX + 1 18026 KachelY 23932 0.31484956 -1.10878971 18.039551 -63.528971
    Unten links KachelX 18025 KachelY + 1 23933 0.31465781 -1.10887517 18.028565 -63.533867
    Unten rechts KachelX + 1 18026 KachelY + 1 23933 0.31484956 -1.10887517 18.039551 -63.533867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10878971--1.10887517) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dl = 544.465659999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10878971--1.10887517) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dr = 544.465659999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31465781-0.31484956) × cos(-1.10878971) × R
    0.000191749999999991 × 0.44574524596887 × 6371000     		do = 544.539887976449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31465781-0.31484956) × cos(-1.10887517) × R
    0.000191749999999991 × 0.445668743979562 × 6371000     		du = 544.446430143607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10878971)-sin(-1.10887517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44574524596887-0.445668743979562)×R²
    abs(0.31484956-0.31465781)×7.65019893083085e-05×R²
    0.000191749999999991×7.65019893083085e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.65019893083085e-05×40589641000000     		ar = 296457.827393738m²