Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18024 / 52232
↖ ↑ ↗
← S 72.408992°
W 80.991211°		 ← 184.61 m → S 72.408992°
W 80.985718°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
S 72.410652°
W 80.991211°		 ← 184.59 m →
34 084 m²		 S 72.410652°
W 80.985718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275032043457031 y=0.797004699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275032043457031 × 216)
    floor (0.275032043457031 × 65536)
    floor (18024.5)     		tx = 18024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797004699707031 × 216)
    floor (0.797004699707031 × 65536)
    floor (52232.5)     		ty = 52232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18024 / 52232 ti = "16/18024/52232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18024/52232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18024 ÷ 216
    18024 ÷ 65536     		x = 0.2750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52232 ÷ 216
    52232 ÷ 65536     		y = 0.7969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41356330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86608762840955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41356330} λ = -1.41356330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86608762840955))-π/2
    2×atan(0.154727831949417)-π/2
    2×0.153510506552989-π/2
    0.307021013105979-1.57079632675     		φ = -1.26377531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41356330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.991211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26377531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.408992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18024 KachelY 52232 -1.41356330 -1.26377531 -80.991211 -72.408992
    Oben rechts KachelX + 1 18025 KachelY 52232 -1.41346742 -1.26377531 -80.985718 -72.408992
    Unten links KachelX 18024 KachelY + 1 52233 -1.41356330 -1.26380429 -80.991211 -72.410652
    Unten rechts KachelX + 1 18025 KachelY + 1 52233 -1.41346742 -1.26380429 -80.985718 -72.410652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26377531--1.26380429) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26377531--1.26380429) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41356330--1.41346742) × cos(-1.26377531) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.302220301332987 × 6371000     		do = 184.611718355608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41356330--1.41346742) × cos(-1.26380429) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.302192676365729 × 6371000     		du = 184.594843603473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26377531)-sin(-1.26380429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302220301332987-0.302192676365729)×R²
    abs(-1.41346742--1.41356330)×2.76249672578888e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.76249672578888e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.76249672578888e-05×40589641000000     		ar = 34083.5954430763m²