Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18023 / 23929
↖ ↑ ↗
← S 63.514276°
E 18.006592°		 ← 544.82 m → S 63.514276°
E 18.017578°		 →
↑
544.78 m
↓
↑
544.78 m
↓
S 63.519175°
E 18.006592°		 ← 544.73 m →
296 784 m²		 S 63.519175°
E 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550033569335938 y=0.730270385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550033569335938 × 215)
    floor (0.550033569335938 × 32768)
    floor (18023.5)     		tx = 18023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730270385742188 × 215)
    floor (0.730270385742188 × 32768)
    floor (23929.5)     		ty = 23929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18023 / 23929 ti = "15/18023/23929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18023/23929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18023 ÷ 215
    18023 ÷ 32768     		x = 0.550018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23929 ÷ 215
    23929 ÷ 32768     		y = 0.730255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550018310546875 × 2 - 1) × π
    0.10003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31427431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.46051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44673563053329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31427431} λ = 0.31427431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44673563053329))-π/2
    2×atan(0.235337263344261)-π/2
    2×0.231131549118981-π/2
    0.462263098237963-1.57079632675     		φ = -1.10853323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31427431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.006592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10853323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.514276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18023 KachelY 23929 0.31427431 -1.10853323 18.006592 -63.514276
    Oben rechts KachelX + 1 18024 KachelY 23929 0.31446606 -1.10853323 18.017578 -63.514276
    Unten links KachelX 18023 KachelY + 1 23930 0.31427431 -1.10861874 18.006592 -63.519175
    Unten rechts KachelX + 1 18024 KachelY + 1 23930 0.31446606 -1.10861874 18.017578 -63.519175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10853323--1.10861874) × R
    8.55100000001219e-05 × 6371000     		dl = 544.784210000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10853323--1.10861874) × R
    8.55100000001219e-05 × 6371000     		dr = 544.784210000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31427431-0.31446606) × cos(-1.10853323) × R
    0.000191749999999991 × 0.445974821906347 × 6371000     		do = 544.820346952527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31427431-0.31446606) × cos(-1.10861874) × R
    0.000191749999999991 × 0.445898284934728 × 6371000     		du = 544.72684638392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10853323)-sin(-1.10861874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445974821906347-0.445898284934728)×R²
    abs(0.31446606-0.31427431)×7.6536971619745e-05×R²
    0.000191749999999991×7.6536971619745e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.6536971619745e-05×40589641000000     		ar = 296784.053671746m²