Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18022 / 52479
↖ ↑ ↗
← S 72.814451°
W 81.002197°		 ← 180.47 m → S 72.814451°
W 80.996704°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
S 72.816073°
W 81.002197°		 ← 180.45 m →
32 560 m²		 S 72.816073°
W 80.996704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275001525878906 y=0.800773620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275001525878906 × 216)
    floor (0.275001525878906 × 65536)
    floor (18022.5)     		tx = 18022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800773620605469 × 216)
    floor (0.800773620605469 × 65536)
    floor (52479.5)     		ty = 52479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18022 / 52479 ti = "16/18022/52479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18022/52479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18022 ÷ 216
    18022 ÷ 65536     		x = 0.274993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52479 ÷ 216
    52479 ÷ 65536     		y = 0.800765991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.45001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41375504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800765991210938 × 2 - 1) × π
    -0.601531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88976845682185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41375504} λ = -1.41375504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88976845682185))-π/2
    2×atan(0.151106792533079)-π/2
    2×0.149972209149942-π/2
    0.299944418299885-1.57079632675     		φ = -1.27085191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41375504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.002197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27085191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.814451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18022 KachelY 52479 -1.41375504 -1.27085191 -81.002197 -72.814451
    Oben rechts KachelX + 1 18023 KachelY 52479 -1.41365917 -1.27085191 -80.996704 -72.814451
    Unten links KachelX 18022 KachelY + 1 52480 -1.41375504 -1.27088023 -81.002197 -72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 18023 KachelY + 1 52480 -1.41365917 -1.27088023 -80.996704 -72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27085191--1.27088023) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dl = 180.426719999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27085191--1.27088023) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dr = 180.426719999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41375504--1.41365917) × cos(-1.27085191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.295467105540845 × 6371000     		do = 180.467694501644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41375504--1.41365917) × cos(-1.27088023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 180.451169203037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27085191)-sin(-1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295467105540845-0.29544004982785)×R²
    abs(-1.41365917--1.41375504)×2.70557129954385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.70557129954385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.70557129954385e-05×40589641000000     		ar = 32559.7033840279m²