Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18022 / 52389
↖ ↑ ↗
← S 72.667772°
W 81.002197°		 ← 181.96 m → S 72.667772°
W 80.996704°		 →
↑
181.96 m
↓
↑
181.96 m
↓
S 72.669409°
W 81.002197°		 ← 181.94 m →
33 107 m²		 S 72.669409°
W 80.996704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275001525878906 y=0.799400329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275001525878906 × 216)
    floor (0.275001525878906 × 65536)
    floor (18022.5)     		tx = 18022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799400329589844 × 216)
    floor (0.799400329589844 × 65536)
    floor (52389.5)     		ty = 52389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18022 / 52389 ti = "16/18022/52389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18022/52389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18022 ÷ 216
    18022 ÷ 65536     		x = 0.274993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52389 ÷ 216
    52389 ÷ 65536     		y = 0.799392700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.45001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41375504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799392700195312 × 2 - 1) × π
    -0.598785400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88113981489024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41375504} λ = -1.41375504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88113981489024))-π/2
    2×atan(0.152416280365442)-π/2
    2×0.151252216250482-π/2
    0.302504432500963-1.57079632675     		φ = -1.26829189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41375504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.002197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26829189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.667772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18022 KachelY 52389 -1.41375504 -1.26829189 -81.002197 -72.667772
    Oben rechts KachelX + 1 18023 KachelY 52389 -1.41365917 -1.26829189 -80.996704 -72.667772
    Unten links KachelX 18022 KachelY + 1 52390 -1.41375504 -1.26832045 -81.002197 -72.669409
    Unten rechts KachelX + 1 18023 KachelY + 1 52390 -1.41365917 -1.26832045 -80.996704 -72.669409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26829189--1.26832045) × R
    2.85600000000663e-05 × 6371000     		dl = 181.955760000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26829189--1.26832045) × R
    2.85600000000663e-05 × 6371000     		dr = 181.955760000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41375504--1.41365917) × cos(-1.26829189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297911857234113 × 6371000     		do = 181.960918936578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41375504--1.41365917) × cos(-1.26832045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297884593925622 × 6371000     		du = 181.944266841182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26829189)-sin(-1.26832045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297911857234113-0.297884593925622)×R²
    abs(-1.41365917--1.41375504)×2.72633084911211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72633084911211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72633084911211e-05×40589641000000     		ar = 33107.3223250853m²