Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18021 / 52524
↖ ↑ ↗
← S 72.887337°
W 81.007691°		 ← 179.74 m → S 72.887337°
W 81.002197°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
S 72.888954°
W 81.007691°		 ← 179.73 m →
32 303 m²		 S 72.888954°
W 81.002197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274986267089844 y=0.801460266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274986267089844 × 216)
    floor (0.274986267089844 × 65536)
    floor (18021.5)     		tx = 18021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801460266113281 × 216)
    floor (0.801460266113281 × 65536)
    floor (52524.5)     		ty = 52524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18021 / 52524 ti = "16/18021/52524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18021/52524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18021 ÷ 216
    18021 ÷ 65536     		x = 0.274978637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52524 ÷ 216
    52524 ÷ 65536     		y = 0.80145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274978637695312 × 2 - 1) × π
    -0.450042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41385092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.6029052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89408277778766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41385092} λ = -1.41385092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89408277778766))-π/2
    2×atan(0.150456273612715)-π/2
    2×0.14933615107532-π/2
    0.29867230215064-1.57079632675     		φ = -1.27212402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41385092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.007691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27212402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.887337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18021 KachelY 52524 -1.41385092 -1.27212402 -81.007691 -72.887337
    Oben rechts KachelX + 1 18022 KachelY 52524 -1.41375504 -1.27212402 -81.002197 -72.887337
    Unten links KachelX 18021 KachelY + 1 52525 -1.41385092 -1.27215223 -81.007691 -72.888954
    Unten rechts KachelX + 1 18022 KachelY + 1 52525 -1.41375504 -1.27215223 -81.002197 -72.888954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27212402--1.27215223) × R
    2.8210000000195e-05 × 6371000     		dl = 179.725910001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27212402--1.27215223) × R
    2.8210000000195e-05 × 6371000     		dr = 179.725910001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41385092--1.41375504) × cos(-1.27212402) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29425155280186 × 6371000     		do = 179.743996521196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41385092--1.41375504) × cos(-1.27215223) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294224591597698 × 6371000     		du = 179.727527229732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27212402)-sin(-1.27215223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29425155280186-0.294224591597698)×R²
    abs(-1.41375504--1.41385092)×2.69612041619571e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.69612041619571e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.69612041619571e-05×40589641000000     		ar = 32303.1733651461m²