Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18021 / 52522
↖ ↑ ↗
← S 72.884105°
W 81.007691°		 ← 179.78 m → S 72.884105°
W 81.002197°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
S 72.885721°
W 81.007691°		 ← 179.76 m →
32 309 m²		 S 72.885721°
W 81.002197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274986267089844 y=0.801429748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274986267089844 × 216)
    floor (0.274986267089844 × 65536)
    floor (18021.5)     		tx = 18021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801429748535156 × 216)
    floor (0.801429748535156 × 65536)
    floor (52522.5)     		ty = 52522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18021 / 52522 ti = "16/18021/52522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18021/52522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18021 ÷ 216
    18021 ÷ 65536     		x = 0.274978637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52522 ÷ 216
    52522 ÷ 65536     		y = 0.801422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274978637695312 × 2 - 1) × π
    -0.450042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41385092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.60284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89389103018918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41385092} λ = -1.41385092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89389103018918))-π/2
    2×atan(0.150485126007957)-π/2
    2×0.149364364674292-π/2
    0.298728729348583-1.57079632675     		φ = -1.27206760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41385092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.007691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27206760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.884105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18021 KachelY 52522 -1.41385092 -1.27206760 -81.007691 -72.884105
    Oben rechts KachelX + 1 18022 KachelY 52522 -1.41375504 -1.27206760 -81.002197 -72.884105
    Unten links KachelX 18021 KachelY + 1 52523 -1.41385092 -1.27209581 -81.007691 -72.885721
    Unten rechts KachelX + 1 18022 KachelY + 1 52523 -1.41375504 -1.27209581 -81.002197 -72.885721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27206760--1.27209581) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27206760--1.27209581) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41385092--1.41375504) × cos(-1.27206760) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294305474507662 × 6371000     		do = 179.77693467499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41385092--1.41375504) × cos(-1.27209581) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294278513771855 × 6371000     		du = 179.76046566962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27206760)-sin(-1.27209581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294305474507662-0.294278513771855)×R²
    abs(-1.41375504--1.41385092)×2.69607358071022e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.69607358071022e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.69607358071022e-05×40589641000000     		ar = 32309.0932299144m²