Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18021 / 52481
↖ ↑ ↗
← S 72.817697°
W 81.007691°		 ← 180.45 m → S 72.817697°
W 81.002197°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
S 72.819319°
W 81.007691°		 ← 180.44 m →
32 557 m²		 S 72.819319°
W 81.002197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274986267089844 y=0.800804138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274986267089844 × 216)
    floor (0.274986267089844 × 65536)
    floor (18021.5)     		tx = 18021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800804138183594 × 216)
    floor (0.800804138183594 × 65536)
    floor (52481.5)     		ty = 52481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18021 / 52481 ti = "16/18021/52481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18021/52481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18021 ÷ 216
    18021 ÷ 65536     		x = 0.274978637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52481 ÷ 216
    52481 ÷ 65536     		y = 0.800796508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274978637695312 × 2 - 1) × π
    -0.450042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41385092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800796508789062 × 2 - 1) × π
    -0.601593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88996020442033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41385092} λ = -1.41385092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88996020442033))-π/2
    2×atan(0.151077820946202)-π/2
    2×0.149943884190317-π/2
    0.299887768380634-1.57079632675     		φ = -1.27090856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41385092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.007691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27090856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.817697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18021 KachelY 52481 -1.41385092 -1.27090856 -81.007691 -72.817697
    Oben rechts KachelX + 1 18022 KachelY 52481 -1.41375504 -1.27090856 -81.002197 -72.817697
    Unten links KachelX 18021 KachelY + 1 52482 -1.41385092 -1.27093688 -81.007691 -72.819319
    Unten rechts KachelX + 1 18022 KachelY + 1 52482 -1.41375504 -1.27093688 -81.002197 -72.819319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27090856--1.27093688) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dl = 180.426719999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27090856--1.27093688) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dr = 180.426719999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41385092--1.41375504) × cos(-1.27090856) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.295412984324208 × 6371000     		do = 180.453458685541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41385092--1.41375504) × cos(-1.27093688) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.295385928137252 × 6371000     		du = 180.436931373696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27090856)-sin(-1.27093688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295412984324208-0.295385928137252)×R²
    abs(-1.41375504--1.41385092)×2.70561869564756e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.70561869564756e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.70561869564756e-05×40589641000000     		ar = 32557.1346814651m²