Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18021 / 52380
↖ ↑ ↗
← S 72.653038°
W 81.007691°		 ← 182.13 m → S 72.653038°
W 81.002197°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 72.654676°
W 81.007691°		 ← 182.11 m →
33 173 m²		 S 72.654676°
W 81.002197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274986267089844 y=0.799263000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274986267089844 × 216)
    floor (0.274986267089844 × 65536)
    floor (18021.5)     		tx = 18021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799263000488281 × 216)
    floor (0.799263000488281 × 65536)
    floor (52380.5)     		ty = 52380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18021 / 52380 ti = "16/18021/52380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18021/52380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18021 ÷ 216
    18021 ÷ 65536     		x = 0.274978637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52380 ÷ 216
    52380 ÷ 65536     		y = 0.79925537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274978637695312 × 2 - 1) × π
    -0.450042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41385092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79925537109375 × 2 - 1) × π
    -0.5985107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88027695069708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41385092} λ = -1.41385092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88027695069708))-π/2
    2×atan(0.152547851672146)-π/2
    2×0.151380797932556-π/2
    0.302761595865112-1.57079632675     		φ = -1.26803473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41385092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.007691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26803473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.653038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18021 KachelY 52380 -1.41385092 -1.26803473 -81.007691 -72.653038
    Oben rechts KachelX + 1 18022 KachelY 52380 -1.41375504 -1.26803473 -81.002197 -72.653038
    Unten links KachelX 18021 KachelY + 1 52381 -1.41385092 -1.26806332 -81.007691 -72.654676
    Unten rechts KachelX + 1 18022 KachelY + 1 52381 -1.41375504 -1.26806332 -81.002197 -72.654676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26803473--1.26806332) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26803473--1.26806332) × R
    2.8589999999884e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41385092--1.41375504) × cos(-1.26803473) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.298157330614927 × 6371000     		do = 182.129846678858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41385092--1.41375504) × cos(-1.26806332) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29813004085949 × 6371000     		du = 182.11317669136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26803473)-sin(-1.26806332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298157330614927-0.29813004085949)×R²
    abs(-1.41375504--1.41385092)×2.72897554368656e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.72897554368656e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.72897554368656e-05×40589641000000     		ar = 33172.8669577325m²