Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18021 / 18879
↖ ↑ ↗
← S 26.421390°
E 17.984619°		 ← 1 094.03 m → S 26.421390°
E 17.995606°		 →
↑
1 094.03 m
↓
↑
1 094.03 m
↓
S 26.431228°
E 17.984619°		 ← 1 093.94 m →
1 196 853 m²		 S 26.431228°
E 17.995606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549972534179688 y=0.576156616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549972534179688 × 215)
    floor (0.549972534179688 × 32768)
    floor (18021.5)     		tx = 18021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576156616210938 × 215)
    floor (0.576156616210938 × 32768)
    floor (18879.5)     		ty = 18879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18021 / 18879 ti = "15/18021/18879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18021/18879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18021 ÷ 215
    18021 ÷ 32768     		x = 0.549957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18879 ÷ 215
    18879 ÷ 32768     		y = 0.576141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549957275390625 × 2 - 1) × π
    0.09991455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31389082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.15228271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.47841025820816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31389082} λ = 0.31389082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47841025820816))-π/2
    2×atan(0.619767879957831)-π/2
    2×0.554828041574072-π/2
    1.10965608314814-1.57079632675     		φ = -0.46114024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31389082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.984619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46114024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.421390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18021 KachelY 18879 0.31389082 -0.46114024 17.984619 -26.421390
    Oben rechts KachelX + 1 18022 KachelY 18879 0.31408257 -0.46114024 17.995606 -26.421390
    Unten links KachelX 18021 KachelY + 1 18880 0.31389082 -0.46131196 17.984619 -26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 18022 KachelY + 1 18880 0.31408257 -0.46131196 17.995606 -26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46114024--0.46131196) × R
    0.000171720000000042 × 6371000     		dl = 1094.02812000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46114024--0.46131196) × R
    0.000171720000000042 × 6371000     		dr = 1094.02812000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31389082-0.31408257) × cos(-0.46114024) × R
    0.000191749999999991 × 0.895545707745694 × 6371000     		do = 1094.03378675111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31389082-0.31408257) × cos(-0.46131196) × R
    0.000191749999999991 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 1093.94042496068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46114024)-sin(-0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895545707745694-0.895469284374037)×R²
    abs(0.31408257-0.31389082)×7.64233716565865e-05×R²
    0.000191749999999991×7.64233716565865e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.64233716565865e-05×40589641000000     		ar = 1196852.65966536m²