Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1802 / 1788
↖ ↑ ↗
← N 70.670881°
W100.810547°		 ← 1 617.40 m → N 70.670881°
W100.766601°		 →
↑
1 617.98 m
↓
↑
1 617.98 m
↓
N 70.656330°
W100.810547°		 ← 1 618.57 m →
2 617 867 m²		 N 70.656330°
W100.766601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22003173828125 y=0.21832275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22003173828125 × 213)
    floor (0.22003173828125 × 8192)
    floor (1802.5)     		tx = 1802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21832275390625 × 213)
    floor (0.21832275390625 × 8192)
    floor (1788.5)     		ty = 1788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1802 / 1788 ti = "13/1802/1788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1802/1788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1802 ÷ 213
    1802 ÷ 8192     		x = 0.219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1788 ÷ 213
    1788 ÷ 8192     		y = 0.21826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21826171875 × 2 - 1) × π
    0.5634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77021382916943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75947596} λ = -1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77021382916943))-π/2
    2×atan(5.87210885530656)-π/2
    2×1.40211794336887-π/2
    2.80423588673773-1.57079632675     		φ = 1.23343956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23343956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.670881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1802 KachelY 1788 -1.75947596 1.23343956 -100.810547 70.670881
    Oben rechts KachelX + 1 1803 KachelY 1788 -1.75870897 1.23343956 -100.766601 70.670881
    Unten links KachelX 1802 KachelY + 1 1789 -1.75947596 1.23318560 -100.810547 70.656330
    Unten rechts KachelX + 1 1803 KachelY + 1 1789 -1.75870897 1.23318560 -100.766601 70.656330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23343956-1.23318560) × R
    0.000253959999999998 × 6371000     		dl = 1617.97915999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23343956-1.23318560) × R
    0.000253959999999998 × 6371000     		dr = 1617.97915999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75947596--1.75870897) × cos(1.23343956) × R
    0.000766990000000023 × 0.330994009622915 × 6371000     		do = 1617.40000705262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75947596--1.75870897) × cos(1.23318560) × R
    0.000766990000000023 × 0.331233643946428 × 6371000     		du = 1618.57097856652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23343956)-sin(1.23318560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330994009622915-0.331233643946428)×R²
    abs(-1.75870897--1.75947596)×0.000239634323512816×R²
    0.000766990000000023×0.000239634323512816×6371000²
    0.000766990000000023×0.000239634323512816×40589641000000     		ar = 2617866.82261832m²