Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18019 / 7467
↖ ↑ ↗
← N 82.925797°
W130.509338°		 ← 37.61 m → N 82.925797°
W130.506592°		 →
↑
37.65 m
↓
↑
37.65 m
↓
N 82.925458°
W130.509338°		 ← 37.62 m →
1 416 m²		 N 82.925458°
W130.506592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137477874755859 y=0.0569725036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137477874755859 × 217)
    floor (0.137477874755859 × 131072)
    floor (18019.5)     		tx = 18019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0569725036621094 × 217)
    floor (0.0569725036621094 × 131072)
    floor (7467.5)     		ty = 7467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18019 / 7467 ti = "17/18019/7467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18019/7467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18019 ÷ 217
    18019 ÷ 131072     		x = 0.137474060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7467 ÷ 217
    7467 ÷ 131072     		y = 0.0569686889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137474060058594 × 2 - 1) × π
    -0.725051879882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.27781766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0569686889648438 × 2 - 1) × π
    0.886062622070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.78364782403704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27781766} λ = -2.27781766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.78364782403704))-π/2
    2×atan(16.1779276754627)-π/2
    2×1.50906225726271-π/2
    3.01812451452543-1.57079632675     		φ = 1.44732819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27781766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.509338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44732819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.925797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18019 KachelY 7467 -2.27781766 1.44732819 -130.509338 82.925797
    Oben rechts KachelX + 1 18020 KachelY 7467 -2.27776972 1.44732819 -130.506592 82.925797
    Unten links KachelX 18019 KachelY + 1 7468 -2.27781766 1.44732228 -130.509338 82.925458
    Unten rechts KachelX + 1 18020 KachelY + 1 7468 -2.27776972 1.44732228 -130.506592 82.925458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44732819-1.44732228) × R
    5.90999999983133e-06 × 6371000     		dl = 37.6526099989254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44732819-1.44732228) × R
    5.90999999983133e-06 × 6371000     		dr = 37.6526099989254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27781766--2.27776972) × cos(1.44732819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.123154676599908 × 6371000     		do = 37.6146082349629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27781766--2.27776972) × cos(1.44732228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.123160541607809 × 6371000     		du = 37.6163995593412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44732819)-sin(1.44732228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.123154676599908-0.123160541607809)×R²
    abs(-2.27776972--2.27781766)×5.86500790099309e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.86500790099309e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.86500790099309e-06×40589641000000     		ar = 1416.32189811269m²