Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18019 / 18895
↖ ↑ ↗
← S 26.578703°
E 17.962646°		 ← 1 092.54 m → S 26.578703°
E 17.973633°		 →
↑
1 092.44 m
↓
↑
1 092.44 m
↓
S 26.588527°
E 17.962646°		 ← 1 092.44 m →
1 193 475 m²		 S 26.588527°
E 17.973633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549911499023438 y=0.576644897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549911499023438 × 215)
    floor (0.549911499023438 × 32768)
    floor (18019.5)     		tx = 18019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576644897460938 × 215)
    floor (0.576644897460938 × 32768)
    floor (18895.5)     		ty = 18895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18019 / 18895 ti = "15/18019/18895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18019/18895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18019 ÷ 215
    18019 ÷ 32768     		x = 0.549896240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18895 ÷ 215
    18895 ÷ 32768     		y = 0.576629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549896240234375 × 2 - 1) × π
    0.09979248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31350732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.15325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.481478219783844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31350732} λ = 0.31350732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481478219783844))-π/2
    2×atan(0.617869369683689)-π/2
    2×0.553455230652056-π/2
    1.10691046130411-1.57079632675     		φ = -0.46388587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31350732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.962646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46388587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.578703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18019 KachelY 18895 0.31350732 -0.46388587 17.962646 -26.578703
    Oben rechts KachelX + 1 18020 KachelY 18895 0.31369907 -0.46388587 17.973633 -26.578703
    Unten links KachelX 18019 KachelY + 1 18896 0.31350732 -0.46405734 17.962646 -26.588527
    Unten rechts KachelX + 1 18020 KachelY + 1 18896 0.31369907 -0.46405734 17.973633 -26.588527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46388587--0.46405734) × R
    0.000171470000000007 × 6371000     		dl = 1092.43537000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46388587--0.46405734) × R
    0.000171470000000007 × 6371000     		dr = 1092.43537000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31350732-0.31369907) × cos(-0.46388587) × R
    0.000191750000000046 × 0.89432061205525 × 6371000     		do = 1092.53716177098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31350732-0.31369907) × cos(-0.46405734) × R
    0.000191750000000046 × 0.894243878653715 × 6371000     		du = 1092.44342123588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46388587)-sin(-0.46405734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89432061205525-0.894243878653715)×R²
    abs(0.31369907-0.31350732)×7.67334015345789e-05×R²
    0.000191750000000046×7.67334015345789e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.67334015345789e-05×40589641000000     		ar = 1193475.038744m²