Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18017 / 52521
↖ ↑ ↗
← S 72.882488°
W 81.029663°		 ← 179.77 m → S 72.882488°
W 81.024170°		 →
↑
179.79 m
↓
↑
179.79 m
↓
S 72.884105°
W 81.029663°		 ← 179.76 m →
32 320 m²		 S 72.884105°
W 81.024170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274925231933594 y=0.801414489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274925231933594 × 216)
    floor (0.274925231933594 × 65536)
    floor (18017.5)     		tx = 18017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801414489746094 × 216)
    floor (0.801414489746094 × 65536)
    floor (52521.5)     		ty = 52521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18017 / 52521 ti = "16/18017/52521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18017/52521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18017 ÷ 216
    18017 ÷ 65536     		x = 0.274917602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52521 ÷ 216
    52521 ÷ 65536     		y = 0.801406860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274917602539062 × 2 - 1) × π
    -0.450164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41423441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801406860351562 × 2 - 1) × π
    -0.602813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89379515638994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41423441} λ = -1.41423441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89379515638994))-π/2
    2×atan(0.150499554280352)-π/2
    2×0.149378473412762-π/2
    0.298756946825523-1.57079632675     		φ = -1.27203938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41423441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.029663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27203938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.882488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18017 KachelY 52521 -1.41423441 -1.27203938 -81.029663 -72.882488
    Oben rechts KachelX + 1 18018 KachelY 52521 -1.41413854 -1.27203938 -81.024170 -72.882488
    Unten links KachelX 18017 KachelY + 1 52522 -1.41423441 -1.27206760 -81.029663 -72.884105
    Unten rechts KachelX + 1 18018 KachelY + 1 52522 -1.41413854 -1.27206760 -81.024170 -72.884105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27203938--1.27206760) × R
    2.82199999999122e-05 × 6371000     		dl = 179.789619999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27203938--1.27206760) × R
    2.82199999999122e-05 × 6371000     		dr = 179.789619999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41423441--1.41413854) × cos(-1.27203938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294332444566291 × 6371000     		do = 179.774657455289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41423441--1.41413854) × cos(-1.27206760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294305474507662 × 6371000     		du = 179.758184473323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27203938)-sin(-1.27206760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294332444566291-0.294305474507662)×R²
    abs(-1.41413854--1.41423441)×2.6970058628506e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6970058628506e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6970058628506e-05×40589641000000     		ar = 32320.1365161825m²