Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18017 / 18894
↖ ↑ ↗
← S 26.568876°
E 17.940674°		 ← 1 092.63 m → S 26.568876°
E 17.951660°		 →
↑
1 092.63 m
↓
↑
1 092.63 m
↓
S 26.578703°
E 17.940674°		 ← 1 092.54 m →
1 193 786 m²		 S 26.578703°
E 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549850463867188 y=0.576614379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549850463867188 × 215)
    floor (0.549850463867188 × 32768)
    floor (18017.5)     		tx = 18017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576614379882812 × 215)
    floor (0.576614379882812 × 32768)
    floor (18894.5)     		ty = 18894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18017 / 18894 ti = "15/18017/18894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18017/18894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18017 ÷ 215
    18017 ÷ 32768     		x = 0.549835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18894 ÷ 215
    18894 ÷ 32768     		y = 0.57659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549835205078125 × 2 - 1) × π
    0.09967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31312383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.1531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.481286472185364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31312383} λ = 0.31312383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481286472185364))-π/2
    2×atan(0.617987856010872)-π/2
    2×0.553540976244778-π/2
    1.10708195248956-1.57079632675     		φ = -0.46371437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31312383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.940674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46371437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.568876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18017 KachelY 18894 0.31312383 -0.46371437 17.940674 -26.568876
    Oben rechts KachelX + 1 18018 KachelY 18894 0.31331558 -0.46371437 17.951660 -26.568876
    Unten links KachelX 18017 KachelY + 1 18895 0.31312383 -0.46388587 17.940674 -26.578703
    Unten rechts KachelX + 1 18018 KachelY + 1 18895 0.31331558 -0.46388587 17.951660 -26.578703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46371437--0.46388587) × R
    0.000171499999999991 × 6371000     		dl = 1092.62649999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46371437--0.46388587) × R
    0.000171499999999991 × 6371000     		dr = 1092.62649999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31312383-0.31331558) × cos(-0.46371437) × R
    0.000191749999999991 × 0.894397332580204 × 6371000     		do = 1092.63088657523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31312383-0.31331558) × cos(-0.46388587) × R
    0.000191749999999991 × 0.89432061205525 × 6371000     		du = 1092.53716177066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46371437)-sin(-0.46388587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894397332580204-0.89432061205525)×R²
    abs(0.31331558-0.31312383)×7.67205249544434e-05×R²
    0.000191749999999991×7.67205249544434e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.67205249544434e-05×40589641000000     		ar = 1193786.26121409m²