Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18016 / 52512
↖ ↑ ↗
← S 72.867931°
W 81.035156°		 ← 179.94 m → S 72.867931°
W 81.029663°		 →
↑
179.92 m
↓
↑
179.92 m
↓
S 72.869549°
W 81.035156°		 ← 179.93 m →
32 373 m²		 S 72.869549°
W 81.029663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274909973144531 y=0.801277160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274909973144531 × 216)
    floor (0.274909973144531 × 65536)
    floor (18016.5)     		tx = 18016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801277160644531 × 216)
    floor (0.801277160644531 × 65536)
    floor (52512.5)     		ty = 52512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18016 / 52512 ti = "16/18016/52512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18016/52512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18016 ÷ 216
    18016 ÷ 65536     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52512 ÷ 216
    52512 ÷ 65536     		y = 0.80126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80126953125 × 2 - 1) × π
    -0.6025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89293229219678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89293229219678))-π/2
    2×atan(0.150629470999009)-π/2
    2×0.149505510247814-π/2
    0.299011020495628-1.57079632675     		φ = -1.27178531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27178531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.867931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18016 KachelY 52512 -1.41433029 -1.27178531 -81.035156 -72.867931
    Oben rechts KachelX + 1 18017 KachelY 52512 -1.41423441 -1.27178531 -81.029663 -72.867931
    Unten links KachelX 18016 KachelY + 1 52513 -1.41433029 -1.27181355 -81.035156 -72.869549
    Unten rechts KachelX + 1 18017 KachelY + 1 52513 -1.41423441 -1.27181355 -81.029663 -72.869549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27178531--1.27181355) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dl = 179.917040000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27178531--1.27181355) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dr = 179.917040000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41423441) × cos(-1.27178531) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.29457525055005 × 6371000     		do = 179.941727770168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41423441) × cos(-1.27181355) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.294548263489785 × 6371000     		du = 179.925242684464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27178531)-sin(-1.27181355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29457525055005-0.294548263489785)×R²
    abs(-1.41423441--1.41433029)×2.69870602658262e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.69870602658262e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.69870602658262e-05×40589641000000     		ar = 32373.100061258m²