Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18016 / 52511
↖ ↑ ↗
← S 72.866312°
W 81.035156°		 ← 179.96 m → S 72.866312°
W 81.029663°		 →
↑
179.98 m
↓
↑
179.98 m
↓
S 72.867931°
W 81.035156°		 ← 179.94 m →
32 388 m²		 S 72.867931°
W 81.029663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274909973144531 y=0.801261901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274909973144531 × 216)
    floor (0.274909973144531 × 65536)
    floor (18016.5)     		tx = 18016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801261901855469 × 216)
    floor (0.801261901855469 × 65536)
    floor (52511.5)     		ty = 52511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18016 / 52511 ti = "16/18016/52511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18016/52511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18016 ÷ 216
    18016 ÷ 65536     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52511 ÷ 216
    52511 ÷ 65536     		y = 0.801254272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801254272460938 × 2 - 1) × π
    -0.602508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89283641839754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89283641839754))-π/2
    2×atan(0.15064391311097)-π/2
    2×0.149519631919099-π/2
    0.299039263838199-1.57079632675     		φ = -1.27175706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27175706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.866312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18016 KachelY 52511 -1.41433029 -1.27175706 -81.035156 -72.866312
    Oben rechts KachelX + 1 18017 KachelY 52511 -1.41423441 -1.27175706 -81.029663 -72.866312
    Unten links KachelX 18016 KachelY + 1 52512 -1.41433029 -1.27178531 -81.035156 -72.867931
    Unten rechts KachelX + 1 18017 KachelY + 1 52512 -1.41423441 -1.27178531 -81.029663 -72.867931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27175706--1.27178531) × R
    2.82499999999519e-05 × 6371000     		dl = 179.980749999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27175706--1.27178531) × R
    2.82499999999519e-05 × 6371000     		dr = 179.980749999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41423441) × cos(-1.27175706) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.294602246931593 × 6371000     		do = 179.958218549788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41423441) × cos(-1.27178531) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.29457525055005 × 6371000     		du = 179.941727770168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27175706)-sin(-1.27178531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294602246931593-0.29457525055005)×R²
    abs(-1.41423441--1.41433029)×2.69963815423546e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.69963815423546e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.69963815423546e-05×40589641000000     		ar = 32387.531134101m²