Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18016 / 52450
↖ ↑ ↗
← S 72.767320°
W 81.035156°		 ← 180.97 m → S 72.767320°
W 81.029663°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
S 72.768947°
W 81.035156°		 ← 180.95 m →
32 742 m²		 S 72.768947°
W 81.029663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274909973144531 y=0.800331115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274909973144531 × 216)
    floor (0.274909973144531 × 65536)
    floor (18016.5)     		tx = 18016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800331115722656 × 216)
    floor (0.800331115722656 × 65536)
    floor (52450.5)     		ty = 52450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18016 / 52450 ti = "16/18016/52450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18016/52450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18016 ÷ 216
    18016 ÷ 65536     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52450 ÷ 216
    52450 ÷ 65536     		y = 0.800323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.60064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88698811664389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88698811664389))-π/2
    2×atan(0.151527505410961)-π/2
    2×0.150383504639019-π/2
    0.300767009278038-1.57079632675     		φ = -1.27002932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27002932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.767320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18016 KachelY 52450 -1.41433029 -1.27002932 -81.035156 -72.767320
    Oben rechts KachelX + 1 18017 KachelY 52450 -1.41423441 -1.27002932 -81.029663 -72.767320
    Unten links KachelX 18016 KachelY + 1 52451 -1.41433029 -1.27005772 -81.035156 -72.768947
    Unten rechts KachelX + 1 18017 KachelY + 1 52451 -1.41423441 -1.27005772 -81.029663 -72.768947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27002932--1.27005772) × R
    2.84000000001505e-05 × 6371000     		dl = 180.936400000959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27002932--1.27005772) × R
    2.84000000001505e-05 × 6371000     		dr = 180.936400000959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41423441) × cos(-1.27002932) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.296252869240886 × 6371000     		do = 180.966503630342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41423441) × cos(-1.27005772) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.296225744010421 × 6371000     		du = 180.949934143167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27002932)-sin(-1.27005772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296252869240886-0.296225744010421)×R²
    abs(-1.41423441--1.41433029)×2.71252304658298e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.71252304658298e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.71252304658298e-05×40589641000000     		ar = 32741.928678406m²