Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18016 / 52441
↖ ↑ ↗
← S 72.752668°
W 81.035156°		 ← 181.12 m → S 72.752668°
W 81.029663°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
S 72.754296°
W 81.035156°		 ← 181.10 m →
32 792 m²		 S 72.754296°
W 81.029663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274909973144531 y=0.800193786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274909973144531 × 216)
    floor (0.274909973144531 × 65536)
    floor (18016.5)     		tx = 18016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800193786621094 × 216)
    floor (0.800193786621094 × 65536)
    floor (52441.5)     		ty = 52441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18016 / 52441 ti = "16/18016/52441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18016/52441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18016 ÷ 216
    18016 ÷ 65536     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52441 ÷ 216
    52441 ÷ 65536     		y = 0.800186157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800186157226562 × 2 - 1) × π
    -0.600372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88612525245073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88612525245073))-π/2
    2×atan(0.151658309494624)-π/2
    2×0.150511370316866-π/2
    0.301022740633732-1.57079632675     		φ = -1.26977359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26977359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.752668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18016 KachelY 52441 -1.41433029 -1.26977359 -81.035156 -72.752668
    Oben rechts KachelX + 1 18017 KachelY 52441 -1.41423441 -1.26977359 -81.029663 -72.752668
    Unten links KachelX 18016 KachelY + 1 52442 -1.41433029 -1.26980201 -81.035156 -72.754296
    Unten rechts KachelX + 1 18017 KachelY + 1 52442 -1.41423441 -1.26980201 -81.029663 -72.754296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26977359--1.26980201) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26977359--1.26980201) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41423441) × cos(-1.26977359) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.296497109714285 × 6371000     		do = 181.115698284994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41423441) × cos(-1.26980201) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.296469967535369 × 6371000     		du = 181.099118444833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26977359)-sin(-1.26980201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296497109714285-0.296469967535369)×R²
    abs(-1.41423441--1.41433029)×2.71421789155291e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.71421789155291e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.71421789155291e-05×40589641000000     		ar = 32791.9991912418m²