Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18015 / 52679
↖ ↑ ↗
← S 73.136104°
W 81.040649°		 ← 177.19 m → S 73.136104°
W 81.035156°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
S 73.137697°
W 81.040649°		 ← 177.17 m →
31 392 m²		 S 73.137697°
W 81.035156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274894714355469 y=0.803825378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274894714355469 × 216)
    floor (0.274894714355469 × 65536)
    floor (18015.5)     		tx = 18015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803825378417969 × 216)
    floor (0.803825378417969 × 65536)
    floor (52679.5)     		ty = 52679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18015 / 52679 ti = "16/18015/52679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18015/52679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18015 ÷ 216
    18015 ÷ 65536     		x = 0.274887084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52679 ÷ 216
    52679 ÷ 65536     		y = 0.803817749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.450225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41442616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803817749023438 × 2 - 1) × π
    -0.607635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90894321666988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41442616} λ = -1.41442616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90894321666988))-π/2
    2×atan(0.148236958196092)-π/2
    2×0.147165256987426-π/2
    0.294330513974853-1.57079632675     		φ = -1.27646581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41442616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.040649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27646581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.136104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18015 KachelY 52679 -1.41442616 -1.27646581 -81.040649 -73.136104
    Oben rechts KachelX + 1 18016 KachelY 52679 -1.41433029 -1.27646581 -81.035156 -73.136104
    Unten links KachelX 18015 KachelY + 1 52680 -1.41442616 -1.27649362 -81.040649 -73.137697
    Unten rechts KachelX + 1 18016 KachelY + 1 52680 -1.41433029 -1.27649362 -81.035156 -73.137697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27646581--1.27649362) × R
    2.78100000001835e-05 × 6371000     		dl = 177.177510001169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27646581--1.27649362) × R
    2.78100000001835e-05 × 6371000     		dr = 177.177510001169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41442616--1.41433029) × cos(-1.27646581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290099222050677 × 6371000     		do = 177.189056915064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41442616--1.41433029) × cos(-1.27649362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290072607863795 × 6371000     		du = 177.172801295208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27646581)-sin(-1.27649362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290099222050677-0.290072607863795)×R²
    abs(-1.41433029--1.41442616)×2.66141868818237e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66141868818237e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66141868818237e-05×40589641000000     		ar = 31392.4758407753m²