Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18014 / 52446
↖ ↑ ↗
← S 72.760809°
W 81.046142°		 ← 181.01 m → S 72.760809°
W 81.040649°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
S 72.762437°
W 81.046142°		 ← 181 m →
32 762 m²		 S 72.762437°
W 81.040649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274879455566406 y=0.800270080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274879455566406 × 216)
    floor (0.274879455566406 × 65536)
    floor (18014.5)     		tx = 18014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800270080566406 × 216)
    floor (0.800270080566406 × 65536)
    floor (52446.5)     		ty = 52446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18014 / 52446 ti = "16/18014/52446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18014/52446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18014 ÷ 216
    18014 ÷ 65536     		x = 0.274871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52446 ÷ 216
    52446 ÷ 65536     		y = 0.800262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.45025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41452203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800262451171875 × 2 - 1) × π
    -0.60052490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88660462144693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41452203} λ = -1.41452203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88660462144693))-π/2
    2×atan(0.151585626625385)-π/2
    2×0.150440320820249-π/2
    0.300880641640499-1.57079632675     		φ = -1.26991569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41452203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.046142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26991569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.760809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18014 KachelY 52446 -1.41452203 -1.26991569 -81.046142 -72.760809
    Oben rechts KachelX + 1 18015 KachelY 52446 -1.41442616 -1.26991569 -81.040649 -72.760809
    Unten links KachelX 18014 KachelY + 1 52447 -1.41452203 -1.26994410 -81.046142 -72.762437
    Unten rechts KachelX + 1 18015 KachelY + 1 52447 -1.41442616 -1.26994410 -81.040649 -72.762437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26991569--1.26994410) × R
    2.84100000000898e-05 × 6371000     		dl = 181.000110000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26991569--1.26994410) × R
    2.84100000000898e-05 × 6371000     		dr = 181.000110000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41452203--1.41442616) × cos(-1.26991569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296361396425349 × 6371000     		do = 181.013916436721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41452203--1.41442616) × cos(-1.26994410) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296334262600207 × 6371000     		du = 180.997343428171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26991569)-sin(-1.26994410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296361396425349-0.296334262600207)×R²
    abs(-1.41442616--1.41452203)×2.71338251420228e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71338251420228e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71338251420228e-05×40589641000000     		ar = 32762.038930626m²